Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
быть выражено через k вариаций 8а и k вариаций bq, причем последние могут
рассматриваться как независимые,
§ S. W. Уравнение Гамильтона — Якоби для S
177
В наших новых обозначениях функция 5 (с, t) примет вид 5(а, 7, t), а
затем посредством равенства (11) преобразуется к виду S(q, a, t). Поэтому
к к
-О V OS * I V OS * ,.оч
о5 = 1ж0<7‘-+1|^Гйа'- <13>
1 ]
Выражения для 85 в формулах (9) и (13) должны быть тождественны. В
частности, С должно иметь вид
с
1
где р — постоянные величины.
Так как 8ф и 8а представляют произвольные вариации, то сравнение равенств
(9) и (13) показывает, что
(14)
(15)
где / = 1, 2 к.
Предположим, что каким-либо способом мы нашли функцию S(q, a, t), которую
мы назовем характеристической функцией. Тогда k уравнений (15) могут быть
решены относительно k координат q, которые в результате этого будут
выражены через k постоянных а и k постоянных р в виде функциональной
зависимости q = q(t, а, Р). Подставляя ее затем в равенство (14), находим
р в виде р — p(t, а, Р). Это и дает формальное решение канонических
уравнений.
Постоянные а н р называются каноническими постоянными. причем р является
канонически сопряженной по отношению к а, и наоборот.
Кроме того, мы можем назвать qt и pt парой сопряженных переменных,
§ 8.10. Уравнение Гамильтона — Якоби для 5
Мы теперь выведем уравнение в частных производных, называемое часто
уравнением Гамильтона — Якоби, которому удовлетворяет характеристическая
функция S(q, a, t). По определению (б) § 8.09. dS/dt = T + U.
Однако
*
dS dS (q. a. t) . v dS (Я• ®. 0 i dt dt ^ dQi
12 У- Смарт
178
Глава 8. Канонические уравнения
Поэтому, согласно равенству (14) § 8.09, имеем
к
Т + и^ + ^р^.
1
Но согласно формуле (6) § 8.06,
к
27,+ 7,-2 Pfli'
1
Составляя разность этих равенств и учитывая, что Т = Г2 -f-мы получим
#+7'2-Г0-?/ = 0.
Но так как, согласно формуле (14) § 8.06, Н определяется формулой
H(q, р, t) = T2 — Т0 — U,
причем
Г2 = Г2(^, р, /) = Г2,
то
ЩрЯ+нь. р, о=о.
А согласно формуле (14) § 8.09, имеем
_ . dS(q.a.t)
р‘- Щ •
Следовательно, S есть решение уравнения в частных производ-
ных
Ж + *) = °* О)
содержащее полное число (т. е. k) постоянных интегрирования а» причем мы
отбрасываем аддитивную постоянную, скажем а0.
В любой конкретной задаче точный вид H{q, р, t) известен, ибо
кинетическая энергия Г, которая дается формулой (4) § 8.03, является, как
отмечалось, известной функцией q\ и, в частности, T2(q. q, t) — известная
функция q и Т0 — известная функция q. /. Кроме того, определение
импульсов р по формулам (1) и (2) §8.06 показывает, что любое pt является
известной линейной функцией q. Из этих k линейных зависимостей величины
qt можно выразить в виде линейных функций р. Когда эти последние
выражения будут подставлены в T2(q, q, t), мы получим Г2 в виде известной
функции
§ 8.11. Общие замечания о канонических постоянных
179
от q, р, t. Наконец, так как U — известная функция, то Я(=Г2 — — Т0 — U)
будет также известной функцией от q, р, t.
§ 8.11. Общие замечания о канонических постоянных
В § 8.09 начальная совокупность 2k постоянных интегрирования с2 c2ft
носила совершенно общий характер, т. е. не зависела от частного метода
получения самого решения.
Рассмотрим сначала простую задачу движения частицы по прямой линии
согласно уравнению движения х = — х. Решение этого уравнения может быть
записано в виде
а) л: = а2 sin ^ —(— а2 cos /»
или
б) х = b sin (t
Постоянными интегрирования, которые должны быть отождествлены с с, и с2,
в первом случае являются а, и о^, а во втором — b и т. Таким образом,
постоянные с, и с2 имеют две различные интерпретации в зависимости от
двух форм, или методов, получения решения.
Рассмотрим теперь более сложный пример, именно невозмущен-ное
эллиптическое движение планеты. Если мы преобразуем прямоугольные
координаты планеты в обобщенные координаты q (например, полярные
координаты), то полученные в результате этого канонические уравнения, как
будет показано в гл. 9, могут быть легко решены. Принимая для постоянных
интегрирования систему обозначений с1 = а1 и cft+/ = fi(/=l,
2.............k), мы можем записать
решение в виде
4i = 4i<t,a, т), pt —Pi(t, л. т), (1)
где / = 1, 2, 3. В момент t0
Oii)o=4i (А)» «• т) и (Pi)o—Pi (А)* «• т);
число этих уравнений равно шести, и легко видеть, что после исключения из
них трех величин т оставшиеся три уравнения могут быть разрешены
относительно at. Это даст
«/ = «/(*<>• Яо> Ро)- (2)
Аналогично
Ti= Ti (^о> Я0‘ Ро)• (3)
Здесь о и ^—функции от обобщенных координат и импульсов в
начальный момент /0. Легко видеть тогда, что решение (1) может
12*
Глава S. Канонические уравнения
быть записано в виде
— Чог Ро)• Pt — Pt(t< Чо> Ро)•
Очевидно, что 2k постоянных интегрирования можно интерпретировать а) как
k величин (q,)0 и k величин (р,)0, или б) как функции а и 7 от q0 и р0,
выражаемые формулами (2) и (3), или
в) в еще более общем случае, как любые 2k независимых функций от q0 и
