Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Простой пример преобразования в двумерном пространстве, содержащего
время, дается формулами
х = 5 cos nt — tj sin nt, у = 5 sin nt -(- r, cos at,
где ? и т) — координаты относительно вращающихся осей — могут
рассматриваться как две обобщенные координаты q. Мы встретимся с этим
частным преобразованием в последующих параграфах.
Из равенств (1) имеем
<3>
Г-1
и два аналогичных уравнения для у и г.
Пусть Т означает кинетическую энергию системы, так что
2 r = 2«/(i?4-3»?+i?)-
Тогда из формулы (3) видно, что Т преобразуется в функцию T(q. q, /),
определяемую формулой
2В sqrq3 + XCrqr + D. (4;
Г г s
§ 8.04. Уравнения Лагранжа
165
где двойное суммирование производится при условии, что s > г, а
коэффициенты А, В. С и D в общем случае являются функциями q и t,
определяемыми в любой данной задаче преобразованием вида (3).
Заметим, что первые две суммы в формуле (4). которые мы обозначим через
Т2, представляют однородные квадратичные функции относительно производных
д. Что касается третьей суммы 2C,qt, то она является однородной линейной
функцией величин q, которую мы обозначим через 7Y Последний член D,
который обозначим через Т0, не зависит от производных q. Удобно записать
Т в виде
Т = Т2-\-Т1-\-Т0, (5)
причем Т2 и 7\ — функции q, q, t, а Т0 — функция q и t.
Если преобразование (1) применить к силовой функции U, которая
первоначально была функцией прямоугольных координат, то она превратится в
функцию q, t, которую мы обозначим через U(q, t).
§ 8.04. Уравнения Лагранжа
Уравнения движения п материальных точек имеют вид dU •• dU dU
= = ^ = О)
где U — силовая функция, а / = 1, 2 п. Эти уравнения могут
быть преобразованы в уравнения для k обобщенных координат qf
(/•= 1, 2.......k).
Удобно записать формулы преобразования (2) предыдущего параграфа в виде
х{ = х,(д. 0. yi = »i(q> О. z, = Zt(q, t). (2)
Тогда равенство (3) § 8.03 запишется следующим образом:
Г
Отсюда мы имеем
dxt dxi ...
166
Глава 8. Канонические уравнения
Кроме того,
Ji(dxl\— д**1 -4- V д'х‘ п dt \ dq, j di dq, ' 2а dq, dqs 4s’
s
Поэтому
d'xi _ d (дхЛ
~5д;-чг\-щ;У
Далее Г определяется формулой
2Г = 2т,ф+й+^. (6)
Следовательно, учитывая формулу (4), получаем
С другой стороны, из этого последнего уравнения и формул (1) и (5) имеем
_rf / дТ dt
= 7+ntlXl^t)' (7)
хуг I
Но на основании формул (2) U(x, у, z) = U(q, t), поэтому
V V dU dxt _ дЦ
2а 2а дх/ dqr dq,
xyz i
и, принимая во внимание формулу (6), уравнение (7) можно записать в виде
J_t dT dt
»L+*L. (8)
\dq,l dq, dq, K ’
Функция U не зависит от q. Поэтому dU/dq — 0 и уравнение (8) может быть
записано в виде
(8)
где L = T-\-U есть функция q, q, t. Функция L иногда называется
кинетическим потенциалом.
§ 8.05. Пример
167
Уравнения (8) или (9) и являются уравнениями движения Лагранжа в
обобщенных координатах.
Из формулы (4) § 8.03 видно, что dL/dqr имеет вид
Поэтому очевидно, что уравнение (9) содержит (при всех г и s) qr, qrqs,
qr и члены, не зависящие от q.
§ 8.05. Пример
Для того чтобы проиллюстрировать принципы, лежащие в основе вывода
уравнений Лагранжа, а также для подготовки к последующему изложению, мы
рассмотрим наглядный пример плоского движения в задаче трех тел.
Рассмотрим на рис. 20 два тела Я, и Я2 с одинаковыми мае* сами М,
обращающиеся около их центра масс О по круговым орбитам радиуса а с
постоянной угловой скоростью п. Пусть Р означает третье тело с бесконечно
малой массой т, которая не оказывает влияния на движение тел Я, и Р2.
Силовая функция U будет определяться формулой
u=-?w- + °"‘M(-k+i)' <?>
где г, и г2 — расстояния Я до Я, и Я2. Если х, у — координаты Я по
отношению к фиксированным осям OX, OY, то кинетическая энергия системы
определится формулой
Т = Ма2л2 + I m (i* 4- у2). (2)
В качестве новых осей выберем оси ОЯ, (или О А) и ОВ, которые вращаются с
угловой скоростью п. Пусть [_АОХ = nt. Если
163
Глава 8. Канонические уравнения
— координаты тела Р относительно осей О А, ОВ, то
X = ; COS fit — г, sin я/, у = ; sin nt -f- ц cos nt. (3)
Из формул (2) и (3) находим
T = MaW + \m (« + у? + 2л — &i|) + л2 (« + тД]. (4)
Кроме того,
г*=(*-в)1+ч*. i=a+e)2+^2.
Будем рассматривать теперь ; и ij как обобщенные координаты ql и q2,
Нужно заметить, что преобразование (3) имеет вид x — x(q, t) и y = y(q,
t).
Из формулы (4) мы имеем
дТ tt \ дТ /* I
—г = /я(; —ЯТ)), — = m(ij+ Я;);
di dq
дТ / , .ч dT . ; ,
~^ = mn(i1+я;), -s^ = mn(r-i+mi).
Уравнения Лагранжа тогда запишутся в виде
m 4t — пг& = тп (“Ч + ЯУ + "IT > т ~Ш= тп * + Л11) + TRf ’
или
= + (5)
^+2я|-я*,= ОЛ1^(7!г+^). (6)
Заметим, что при выводе уравнений (5) и (6) было произведено сокращение
на массу т. Это стало возможным благодаря тому, что переменная часть U в
формуле (1) и Г в формуле (4) имели множитель nt. Следовательно, можно
считать, что в уравнениях (5) и (6) роль U и Т играют следующие функции:
и=ом{т:+-к) (7>
и.
Т = j I?2 4- ^2+ 2я C;tj-h) + я2 <?+ tf)l. (8)
Эти выражения отличаются от выражений (1) и (4), во-первых, тем,
