Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
как малая величина первого порядка. Формулу (2) запишем теперь в виде
05 = mWa*. (4)
Посредством равенств (4) и (8) § 7.02 формула (1) для R приводится к виду
я=«..V (s.) ps+
§ 7.05. Порядок величин е, в\, у. о/аi и т
133
Если мы здесь в последнем члене правой части напишем (Е — Ж)2 вместо С2 —
ЕМ-\- Ж2, то введем ошибку порядка -щ^щг '
которая, как показано в § 7.03, приближенно равна 8 • 10-8. Влияние этой
ошибки на величину возмущений будет незначительным. Вводя а, мы запишем
формулу (5) следующим образом:
R = mW(i)a[P,+(A) L. 1L. р,+
<*>
Удобно записать выражение ( д- • -j-) просто как а/а,, но пом
нить, что отныне а/а,—упрощенная запись более сложного выражения в
формуле (6). Мы, таким образом, имеем
«=»w(lr),h+i^7rp»+(i)!(i)!(^)!',*+ -]?(7)
В скобках порядок коэффициента при Р3 тот же, что и порядок a/alt так как
r/а и а,/г, приблизительно равны единице. Далее, а/а, есть отношение
синуса параллакса Солнца к синусу параллакса Луны, если под а мы будем
понимать большую полуось орбиты Луны, или, весьма приближенно, отношение
солнечного параллакса к лунному. Поэтому удобно член, содержащий Р3,
назвать параллактическим членом.
§ 7.0Б. Порядок величин е, еи а/а\ и т
Малые величины, входящие в выражение для R, приближенно имеют следующие
значения:
_ 1 _ 1 1 _ 1 а__ 1
е 20 ’ *•“ 60’ Т — 11 ’ от_“13’ а, — 400 '
Мы будем считать первые четыре величины малыми первого порядка, а а/а, —
величиной второго порядка. В дальнейшем в выражении R
мы будем опускать члены, имеющие порядок более высокий, чем
член, содержащий Р3, и для удобства положим
Я = Я2 + Я3, (1)
где
= (2)
134
Глава 7. Разложение возмущающей функции
И
(3)
Следовательно, величина /?2. содержащая множитель т2, имеет второй
порядок, а величина /?3, содержащая множители т2 и a/Cj, имеет четвертый
порядок малости.
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории движения Луны
1) Выражение возмущающей функции через г, X и s.
На рис. 17 изображена небесная сфера с центром в Земле Е. Большой круг
yNT с полюсом в К соответствует основной плоскости
(плоскость эклиптики), которая была определена в § 7.03, Т —
фиксированная точка в гтой плоскости, от которой измеряется долгота, М —
положение Луны и Т—точка в основной плоскости, лежащая на прямой,
проходящей через Е параллельно CS (рис. 16). Кроме того, 5 —
геоцентрическое положение Солнца на этой сфере.
N — узел мгновенной орбиты Луны, наклонность которой равна I. Долгота
Луны, обозначаемая через X, в основной плоскости есть XX, а широта Луны 0
равна ХМ. Долгота точки Т есть Хг Поэтому ТХ — Х— X,. Кроме того, дуга МТ
равна углу а (см. рис. 16).
Из прямоугольного треугольника МТХ имеем
К
Рис. 17.
Положим
COS Я = COS (X — Xj) COS 0. $ = tg0.
(J)
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории Луны
135
Тогда в обозначениях § 7.02
cos (X — Х|)
с == cos а = —7:- ' . (2)
Kl + s2
Это равенство дает нам возможность выразить полиномы Лежандра Р2, Р3
через X, X, и s.
Далее, из треугольника MNX находим
tgO = tg/sin(X— 2)
или
s = -jsin(X— 2), (3)
где
? = tg/. (4)
Таким образом, величина $ имеет порядок -у- Поэтому мы можем разложить с
в ряд по степеням s и затем получить таким же образом разложения для Р2 и
Р3. Мы тогда найдем, что Р2 и R3, определенные формулами (2) и (3) §
7.05, даются в виде
Я2 = I mW (-^-')3[1 — 3s2 + 3(l —s2) cos 2 (X — X,)] (5)
*з=ТГ-Ш(77)'И‘ -Ts!)c“(l-X.)+
+ 5(1 — -|s2)cos3(X — X!)]. (6)
В невозмущенном движении радиус-вектор г и истинная аномалия / с
точностью до членов порядка е3 включительно даются формулами (14) § 3.11
и (11) § 3.10, т. е.
?j = 1 + 4 <?2 — (е — у e3j cos М — е2 cos 2М — е3 cos 3М. (7)
/ = Af + ^2е — е3j sin Ж + е2 sin 2Л1 + -Ц- е3 sin ЗЛ1, (8)
где М — средняя аномалия, определяемая по формуле
М = nt + е — ш. (9)
2) Выражение через элементы.
Из /\MNX (рис. 17) находим
tg (X — 2) ?= cos / tg (/ + <о).
Положим для простоты
V = l — Q, F = f+ ш, jc = tgl.
136
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Тогда
откуда
где I — Y—1 . Далее получаем
Прологарифмируем обе части этого равенства и разложим в ряд по степеням
х. Мы получим
V = F— jc2 sin 2F-|- i jf4 sin AF— ... . (10)
Ho
откуда с точностью до находим
v-2 _ J~2 J.
x 4 ‘ 8 *
С точностью до членов порядка формула (10) примет вил X — 2 = /-f «о — f
sin 2(/+ «о).
Так как u) = to — 2, то из формулы (8) с точностью до членов третьего
порядка получим
Х = »f-|—е -|— ^2е — j sin М + ~ г2 sin 2М +
+ ?3sln3M —-i- f2 sin 2rj — i e^sin (M _|_ 2tj) —
— ~ ef sip (M — 2Tj), (llj
где
7) = л/ + е —2. (12)
, (1 — x*)tgF
tg^-~1+-У-
e2iv .2 iV
— I
1 —X
2 e2iF -1
+ 1 1+*2
J-iP
+ 1
e2i (v-p) 1 ~f~ x2e~2lp
6 ~ \ +
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории Луны
137
Аналогично для координат Солнца относительно С (рис. 16) или координат Т
относительно Е (рис. 16) имеем
rj = ах (1 — ^ cos Mj + -j е\ — е\ cos 2Mj], (13)
).j = /tj/ + e, + sin Mj + e\ sin 2 Mv (14)
Из формул (3) и (11) с точностью до членов третьего порядка
