Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
Луны основано на предположении, что канонические уравнения могут быть
решены описанным выше методом, если в уравнения входит только некоторая
часть функции Гамильтона Я. Таким образом, если мы напишем
Я = Я„ + (Я-Яо)
(О
§ 8.15. Общее применение метода Гамильтона —Якоби
185
it решим уравнения
дН0 ^ дНй
Pi==~~SqT (2>
методом Гамильтона, выразив это решение через канонические постоянные х и
j), то мы сможем получить, как скоро увидим, новые канонические
уравнения, в которых новой функцией Гамильтона будет служить разность Н —
Н0, фигурирующая в формуле (1). Удобно записать формулу (1) в виде
Н = Н1) — Н1,
где (3)
Л, = -(//-//*).
Для того чтобы решить уравнения (2), нам нужно найти функцию S(q, х, t),
удовлетворяющую уравнению
Т+ "•(«• 'Н- <•*>
Мы предполагаем (как и раньше), что решение уравнения (4) известно. Тогда
решение канонических уравнений дается формулами
о _ dS (q, a, t) _>dS(q, a, t)
— da, ’ Pr — dq, ’ W
из которых любое qt и pt может быть найдено в виде
q, = q,(t,a, р), р, = р, (t, х, ?). (6)
В последних формулах х и р — сопряженные канонические постоянные.
В согласии с формулами (6) мы можем переписать уравнения (2) в виде
dqi_ _ дНо dpi_ _ _ дН±
dt dpi ' dt dqi ' '
Метод, который теперь будет излагаться, в принципе аналогичен тому,
который уже использовался при выводе уравнений Лагранжа в гл. 5.
Пусть >нр рассматриваются как новые переменные, заменяющие первоначальные
переменные q и р, согласно формулам (6), т. е. q и р выражаются через
новые переменные а и таким же образом, каким они получались при решении
уравнений (2) или (7), т. е. формулами (6).
Первоначальные канонические уравнения таковы:
• _ дН • дН
dpi ’ Pl dqt '
186
Глава 8. Канонические уравнения
Эти уравнения посредством формул (6), в которых а и р— новые переменные,
и при помощи равенства (3) принимают вид
dqt , \tldqlL , dqt h\_ д(На-Нх) dt ^2d\dа, а','+‘ д?, V')~ дрх
Г
ЁШ.Л_V^i?Le djHg — Hi)
dt \ dar а'~*~ d$r P')~ dqx
r
Поэтому в силу уравнений (7) имеем
Г
Первоначально Нх была функцией q, р. При помощи формул (6) она может быть
представлена как функция новых переменных аир. Следовательно,
dHt у / dHx dqt . dHt dpt \
daj Zd \ dqt ’ daj dpt ‘ daj )
и, используя уравнения (8) и (9), имеем
дМх _ V Г; I 6 V д(4i< Pi) Л „лч
ibf- 2d[a' 2лтъгъ+?г <10)
Обозначим
S через 1а/’ “Л* <П)
Аналогичное обозначение введем и для коэффициента при р,. Выражения
такого вида мы будем называть обобщенными скобками Лагранжа, Теперь
формула (10) запишется в виде
тй- = ?*' !«/• Ь\ + S Р' 1*7- Р'1* <12)
Г г
Аналогично
п os)
г г
Используем далее равенства (5). Пусть S(q, a, t) при помощи первой группы
равенств (6) преобразуется в функцию от /. а. р.
§ 8.15. Общее применение метода Гамильтона —Якоби
187
Обозначим эту функцию через S'(t, а, (3). Так как S(q, a, t) содержит ttj
явно, то мы имеем
W^dSJa^tl , у dS да) да/ 1 oqi oaf
или, с учетом формул (5).
dS
да
7=^ + 2^ Ж* <14>
Аналогично
if; = 2 р< 1?7' (1б)
Теперь, применив формулу (14), получим
„ 1 _ V (02L . dPi дЯ1 dpi\_
I )< ri 2d \ daj да, да, daj j
_ д V дЯ1 д V дЯ1 _ д (dS' а \ д (dS' й \
да, 2i Р1 daj daj 2d Р1 да, да, \ daj fJ) daj \ да, PrJ*
Так как аир независимы, то [а^, аг] = 0 и вообще все скобки такого вида
равны нулю.
С другой стороны, используя равенство (15), мы найдем,
что
Таким образом, все скобки такого типа обращаются в нуль. Нако-
нец
i«y. м-ж 2 pi ^ 2 Pi wr =
--L(dS' _й L(dS'\
dpr \Haj ”J) daj \Ж/‘
I*j- Prl = °* если Гф]
[Oij, pyl =-- 1
Поэтому
и
или, в соответствии с определением,
1Ру. <*,] = !.
188
Глава 8. Канонические уравнения
Из уравнений (12) и (13)- мы тогда будем иметь
ь <16>
Эти уравнения являются каноническими. Такие рассуждения, оче-видно, могут
быть распространены на решение уравнений (16) с новой функцией
Гамильтона, в качестве которой принята некоторая часть функции Hv
§ 8.16. Канонические уравнения возмущенного движения
Будем исходить из уравнений возмущенного движения планеты, заданных в
прямоугольных координатах. Для координаты х имеем
х + г* ~ дх '
где R— возмущающая функция. R— функция mt, xv у,, а, (массы и координат
возмущающей планеты Р,) и координат х, у, г планеты Р. Мы предполагаем,
что хх, у, и ?, выражены через время и эллиптические элементы орбиты
планеты Р,. Тогда
R = R(х, у, z, t).
Силовая функция U и кинетическая энергия Т, входящие в общую теорию, в
данном случае определяются формулами
U=^+mR, T = \m{x*-
В уравнении (1) множитель m отсутствует и поэтому функции U и Т (как в
примере § 8.05, где на множитель m было произведено сокращение) следует
определить формулами
(7 = ? + /? = t/0-|-P. (2)
где
U — — и о — г
и
г = 1(^ + у2-ьЛ
Выражая х, у, z через три обобщенные координаты qv q2, q:i при помоши
уравнений типа x = x(q, t) мы преобразуем три уравнения вида (1) в три
пары канонических уравнений
§ 8.17. Соотношения Якоби
189
где
причем
H = T2-T0 — U = H0-R
н, = т2-т0-и0.
(4)
Если пренебречь функцией R, то канонические уравнения будут иметь вид
