Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
значительно плотнее, и волновая функция отлична от нуля в значительно
большей области пространства. Благодаря этому сильному размытию волновой
функции довольно хорошо оправдываются приближения, сделанные нами в
предыдущем параграфе относительно медленных изменений Н\ на межатомных
расстояниях.
В случае металла, однако, ясно, что это приближение совершенно не
законно, и даже для полупрбводников возможны случаи с такими значениями
параметров, что волновая функция спадает до нуля на нескольких межатомных
расстояниях, и мы также не имеем права использовать наши приближения. В
такой ситуации более подходящим оказывается другой метод рассмотрения,
основанный непосредственно на уравнении (П1.15), а не на его модификации
(П1.26), предложенной Ваннье. Этот метод, приводящий к прямому решению
разностных уравнений Для Ф", рассмотрен в вышеупомянутых работах Костера
и Слэтера. Мы можем начать с уравнения (П1.15), воспользоваться (П1.16) и
получить уравнение Шредингера для стационарного состояния с энергией Е.
Затем, положив
Tn(R, 0 = exp(-if-)t/n(R),
найдем
2 [?п (Ri - R/) + Vn (Ri. R/)] Un (R/) = EUn (R,),
*/
где
*,)- J ";(г- WKCr-R,)*1-
(П2.7)
(П2.8)
(П2.9)
Волновые функции примесных атомов
347
Уравнения (П2.8) и представляют собой систему разностных уравнений,
обсуждавшуюся в упомянутых работах. На самом деле там рассматривалась
более общая форма. Мы отметили в конце приложения 1, что, строго говоря,
разложение возмущенной волновой функции нельзя провести только по
функциям Ваннье одной зоны. Заменим выражение типа (П1.13), не зависящее
от времени, более общим
?(г)= 2 ?/"(R/)a"(r-R/). (П2.10)
n, Ry
где мы проводим теперь суммирование по всем функциям Ваннье всех
энергетических зон, т. е. по полному набору базисных функций. Вместо
уравнения (П2.8) мы получим тогда
2 [^"(R^-R/XU + V^Ro R/)]tfn,(R/) = ?tf"(Ri)f (П2.П)
m, К j
где
'.(",. R,)= J <(r-R,)"A,(r-<П2'12>
Очевидно, оно сводится к (П2.8) в том случае, когда отбрасываются функции
Ваннье всех зон, кроме одной.
Чтобы лучше представить себе действие возмущения, почти полностью
локализованного на одиночном атоме, как в случае металлической примеси;
решим простую одномерную задачу, обладающую многими характерными чертами
исходной общей задачи. Рассмотрим одномерный кристалл, составленный из
атомов, находящихся на равных расстояниях друг от друга, и ограничимся
рассмотрением одной зоны, описывая ее с помощью функции Ваннье,
симметричной по отношению к отражению в плоскости, проходящей через атом,
на котором она локализована. В этом случае уравнение (П2.8) можно
записать в виде
Ъ[%{Р-q) + V{p, q)\U{q) = EU(p). (П2.13) ч
Индекс р отвечает р-му атому цепочки. Наиболее простым примером задачи о
примеси в линейной цепочке является такой случай, когда взаимодействие
захватывает только функции Ваннье ближайших соседей и примесь находится
лишь в одном узле этой одномерной решетки. Первое из этих ограничений
означает, что $"(р) = 0 для р>1. Согласно второму предположению, величина
V(p,q) не равна нулю только при р и д,
348
Приложение 2
одновременно равных нулю. В таком случае наши разностные уравнения
(П2.13) можно переписать следующим образом:
?(0)U(p) + ?(\)[U(p+l) + U(p-\)] = EU(p), р> 1,
гГ(0)?/(0) + ?(1)[?/(1) + ?/(-1)] = [?-К(0)]?/(0), р = 0/ '
Будем решать систему уравнений (П2.14) (первый набор, отвечающий 1)
обычным способом, предполагая, что U(p) = = Подставляя это выражение в
первое из уравнений (П2.14), видим, что он действительно представляет
собой решение, если выполняется следующее условие:
?(0) + ?(1) (b + -[) = ?. (П2.15)
Положив b - ехр (ikR), где R- параметр решетки, преобразуем условие
(П2.15) к виду
с? (0) + 2^(1) cos kR = E. (П2.16)
Заметим, что в этом соотношении величина k может быть либо вещественной,
либо комплексной. Фактически мы можем сразу установить, что если Е
удовлетворяет неравенству |Е - Й'(О) |/2^Г(1)> 1, то величина k должна
быть чисто мнимой; а если выполняется обратное неравенство, то k -
вещественная величина. В последнем случае состояния находятся в зоне. Для
них, очевидно, коэффициенты при всех функциях Ваннье по абсолютной
величине равны единице; эти состояния описывают распространение
электронов в кристалле. Для состояний с чисто мнимыми значениями k
коэффициенты при функциях Ваннье экспоненциально возрастают при больших
положительных или отрицательных значениях р.
Теперь нужно решить второе из уравнений (П2.14). Наложим периодические
граничные условия, т. е. потребуем, чтобы U(p + 2N) = U(p), и начнем с
обсуждения случая, когда энергия попадает в зону (значение k
вещественно). Мы замечаем сразу, что по симметрии задачи наши решения
должны быть или симметричными, или антисимметричными относительно
центрального атома. В первом случае U(p)=U(-р), во втором U(p)==-U(-р).
Для антисимметричного состояния волновая функция имеет в начале координат
узел, и, следовательно, наша задача с возмущением сводится просто к
