Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
линейный'член. Иными словами, можно написать
М-* +tH.(-'v>+ frT+It Т+
(П1.28)
Первое слагаемое в правой части (П1.28) есть просто невозмущенный
оператор Гамильтона из уравнения (П1.21). Покажем теперь, что остальные
члены, действуя на функцию (R<, t), как в уравнении (П1.24), дают при
подстановке в уравнение (П1.15) то же, что и член возмущения-iefiA-V/m в
гамильтониане (П1.27). Иначе говоря, покажем, что
/ дЕп еАх , дЕп еАу , дЕп еАг \ ^______________
I дкх Ь + дку Ь - + дкг fi J "
= л t)\а* (г ~ R/) ( - ал (г ~ Rj)dv. (П1.29)
*/
Согласно формуле (П1.4), выражение (dEn/dkx)/h равно х-компоненте
скорости v" волнового пакета, образованного из волновых функций п-й
энергетической зоны. Поэтому выражение в левой, части уравнения (П1.29)
равно
(eA-v")1P(R{, t). (П1.30)
Мы должны теперь показать, что то же значение имеет и правая часть
выражения (П1.29). Для этой цели используем функции Блоха в виде (П1.12).
Вычисляя для них среднюю скорость,
Движение волновых пакетов в периодическом поле
333
согласно (ШЛО), имеем
fv" (к)]ср = \ \кЕп (к) = J и\ (к, г) (- ип (к, г)dv =
-ЛГ1 J] J ехр [ik ¦ (Ry - R,)J a?(r - R,)^ - an (r - R/jdv =
R|, K,
= 2 | exp (ik • Rj) a; (г) ( - a" (r - Rf) dv. (П1.31)
*S
Мы заменили здесь Rj - Rj на Rs и просуммировали по одному из двух
индексов, Rj или Rj, что дало N одинаковых слагаемых.
Рассмотрим далее правую часть уравнения (П1.29). Как известно, внутри
волнового пакета волновая функция представляет собой суперпозицию ряда
блоховских волн с почти одинаковым волновым вектором. Поэтому функция
^(Rj, t) ведет себя подобно плоской волне exp(ik-Rj), умноженной на
функцию, не зависящую от Rj в пределах пакета и быстро спадающую вне его.
Следовательно, величину 4r(Rj, t) можно приближенно переписать в виде
W(Rj, t) = ехр [ik ¦ (R/ - Rj)] W (Rj, t). (П1.32)
Таким образом, используя (П1.31), получаем
oJa;(r-R()(-^-Ja^r-R/)^-
*/
= S / exP[ik ' (R/ " Ri)] <(r " Ri)( " 4r) an(r -R/)dvW (Rb 0 =
' =[v"(k)]epT(R(, t). (П1.33)
Взяв теперь скалярное произведение полученной величины на еА и сравнив
это с (П1.29), придем к доказательству рассматриваемой теоремы.
Пусть, далее, имеется возмущение, включающее как потенциальную энергию
Р], соответствующую электрическому полю [величина Нг в уравнении
(П1.24)], так и векторный потенциал А. Тогда, очевидно, уравнение
Шредингера для функции 4r(Rj, t) можно написать в виде
[ея (- Я + -f-) + V, (Rj)] w (Rj, t) = ih -0 ; (П1.34)
это совпадает с уравнением Шредингера с гамильтонианом
Я = ?"(-^х^) + К,. (П1.35)
334
Приложение 1
Волновой пакет, следовательно, будет двигаться согласно уравнениям
движения Ньютона, отвечающим этому классическому гамильтониану. Скорость
определяется соотношением dx/dt = = дН/дрх = (1 /b)dEn/dkx. Его нужно
взять для значения к, равного (р + еА)/й, причем, как отмечалось выше,
векторный потенциал А следует выбрать так, чтобы его значение в центре
тяжести волнового пакета равнялось нулю. Поэтому скорость оказывается
такой же, как и в отсутствие магнитного поля, согласно формуле (П1.4).
Другое уравнение Гамильтона, определяющее dpjdt, более сложно, хотя
пользоваться им надо так же, как в классической механике. Мы имеем dpx
дН дЕп / е dAx \ ,
dt дх dkx \ й дх )
+'$(-ТтН+Т&(-Т^)-7&- <П1-ЗД
Воспользуемся формулой (П1.4) для скорости, и, обозначив через vx, vy и
vz компоненты средней скорости волнового пакета, получим -
-e(v (tm)* + v -^L + v (П137)
dt \ x дх +иУ дх ^ z dx j dx '
Вспомним далее, что p + e\ = кй. Тогда
^Г='^Г-'ЧГ- <ш-38>
Мы считаем, что магнитное поле не зависит от времени, так что
dAJdt = 0. Однако в величину dAJdt будет входить и член, не равный нулю,
вследствие движения волнового пакета. Хотя в тот момент времени, к
которому мы относим наш расчет, векторный потенциал по способу выбора
равен нулю в области расположения волнового пакета, положение изменится
при сдвиге пакета в точку с несколько иным векторным потенциалом.
Фактически мы имеем
dAx _ dAx dAx dAx . dAx (П1 39t
dt ~ dt + x dx +V" dy + * dz '
Положим в (П1.39) dAJdt = 0, подставим результат в уравнение (П1.38) и
получим
Г" (дА" дДЛ (дАх dAz \1 дУ, _
dt L м\ dx dy ) z \ dz dx JJ dx
= - e [E + (v X B)L. (П1.40)
Здесь мы учли также, что -dVJdx = -еЕх (-еЕх - произведение заряда -е на
х-компоненту напряженности электрического поля Ех) и что В = rot А.
Движение волновых пакетов в периодическом поле
335
Иначе говоря, волновой пакет движется в к-пространстве согласно второму
закону Ньютона, в котором сила определяется по обычным правилам
электромагнитной теории через электрическое и магнитное поля. Скорость v,
входящая в уравнение (П1.40), есть средняя скорость волнового пакета,
определяемая формулой (П1.4). Следует напомнить, однако, что, хотя это
выражение выглядит как классическое уравнение движения, в
действительности оно имеет совершенно иную природу, ибо равенство (П1.4)
определяет неклассическую связь между скоростью и волновым вектором к или
