Диэлектрики полупроводники, металлы - Слэтер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
большой, а в предельном случае низких температур она обращается в этих
условиях в бесконечность. В трехмерной задаче со сферической симметрией
мы аналогичным образом получаем
C-Co = ---(f-(П2.5)
где г-расстояние от центра, а определение длины X дано выше.
Мы можем исследовать теперь несколько приложений этих простых
результатов. Рассмотрим сначала случай металла, ограничиваясь одномерной
задачей. Подобная ситуация встречается при исследовании вопроса о
поверхностном заряде на свободной поверхности металла во внешнем
электрическом поле. Очевидно, граничные условия можно подобрать таким
образом, чтобы электрическое поле на поверхности, определяемое градиентом
Яi, имело любую желаемую величину и, кроме того, чтобы соответствующее
потенциальное поле проникало в металл только на расстояние порядка одного
атомного слоя, так что связанная с ним плотность заряда была бы
ограничена по глубине тем же самым тонким слоем., Другими словами, это
позволяет нам предполагать, что на поверхностном слое атомов металла
может находиться поверхностный заряд произвольной плотности, достаточный
для того, чтобы удовлетворить любым граничным условиям на внешней
поверхности металла. Аналогично если два связанных электрически
металлических об-.разца расположены близко друг к другу, так что они
должны приобрести поверхностные заряды такой величины, чтобы
обусловленная ими разность потенциалов была равна разности их работ
выхода, то образование этих поверхностных зарядов происходит точно по
таким же правилам. Когда металлы находятся в непосредственном контакте
друг с другом, двойной слой,
Волновые функции примесных атомов
345
который возникает на границе, образуется из поверхностных эарядов одного
типа на обеих поверхностях. Это описание двойного слоя подробно развито
Фэном [12].
Другой пример, связанный с металлом, относится к задаче со сферической
симметрией. Пусть в металле имеется примесный атом подобно тому, что мы
обсудили в гл. 2, § 5, для случая полупроводника, тогда потенциал будет
обладать локальной сингулярностью. При этом решение, которое мы должны
использовать, будет иметь вид (П2.5)
S = Ео + const ехр (7 т/Х) . (П2.6)
Оно имеет особенность при т = 0, но убывает экспоненциально до нуля на
расстоянии порядка атомных размеров. Другими словами, электроны
проводимости будут настолько эффективно экранировать примесный атом, что
он не создаст заметного возмущения потенциала вне области расположения
атомов - его ближайших соседей. Этот результат, конечно, хорошо известен.
Мы можем рассмотреть эти же самые две задачи для случая собственного
полупроводника, имея в виду, что длина X здесь очень велика. Это
означает, что в таком материале, являющемся практически диэлектриком,
величина заряда, который может накопиться во внутренней области,
пренебрежимо мала, и потому, если этими свойствами обладает весь материал
(включая и поверхностные слои), мы не можем получить тонкий поверхностный
слой заряда, как это возможно в случае металла. Вместо этого, когда
подобный диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, нормальное к
его поверхности, последнее проникает сквозь поверхность внутрь, причем
нормальная компонента индукции D непрерывна, как в обычной теории
диэлектриков. Чтобы было возможно образование поверхностных зарядов
(которые, безусловно, могут возникать на поверхности диэлектрика,
например, при облучении электронами, когда у них не оказывается пути
утечки), мы должны допустить существование поверхностных состояний,
способных удерживать избыточный заряд. Мы опустим обсуждение этих
поверхностных состояний в настоящей книге. Ограничиваясь внутренней
областью собственного полупроводника, мы можем использовать при
рассмотрении примесного атома сферически-симметричное решение нашего
уравнения. При этом ввиду того, что наша длина X велика, мы находим, что
поле изменяется по существу обратно пропорционально квадрату расстояния,
а влияние диэлектрика проявляется только в наличии диэлектрической
постоянной. Поэтому возмущенные энергетические зоны вокруг примесных
атомов на наших фиг. П2.2 и П2.3
346
Приложение 2
изображены верно, отражая тот факт, что потенциал изменяется обратно
пропорционально расстоянию от примесного центра, не будучи экранированным
характерным для металла способом.
§ 3. Метод разностного уравнения для примесных волновых функций
Из предыдущего параграфа следует, что потенциал вокруг примесного атома в
металле является экранированным кулонов-ским потенциалом типа (П2.6). Он
столь быстро (экспоненциально) убывает, что едва заметен за пределами
области ближайших соседей. С другой стороны, в полупроводнике экспонента
в формуле (П2.6) убывает так медленно, что ее можно практически не
учитывать, и мы имеем обычный кулоновский потенциал. В последнем случае
разумно, как мы указали в гл. 2, § 5, использовать приближение
эффективной массы. При этом получается волновая функция Ч*,,
водородоподобного вида, хотя энергетические уровни расположены
