Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Придадим теперь формуле (87.2) более наглядную геометрическую форму, предполарая, что пространство, в котором движется частица, свободно от электрических токов. Имея в виду, что поле В
в рассматриваемой точке направлено вдоль оси Z, запишем формулу
(87.2) в виде
тар. дВ
V = —--------— ь
2 еВ°- ду ¦
Так как при отсутствии электрических токов rot В = 0, то dBJdy = = дВу/дг, и, следовательно,
°д 2ейг дг и'
Как видно из рис. 219, tga = ВуІВг, где a — угол между касательной к магнитной силовой линии и осью Z. В начале координат О касательная горизонтальна, а потому в его малой окрестности tg a можно заменить на а. По той же причине дифференцирование по дуге магнитной силовой линии можно заменить дифференцированием по координате г. Радиус кривизны R силовой линии определяется соотношением
1 da. д !ВУ\ 1 дВу Ву дВг
R ~~ ~ds ~ дг \BZ) ~ Вг дг дг ’
1 дВ
или l/R -'g-gf, так как в точке О Вг = В, Ву = 0. В результате получается
392
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
1ГЛ. V
5. Д р е й ф, вызванный искривлением магнитных силовых линий. Для расчета скорости этого дрейфа введем локальную систему отсчета, вращающуюся вокруг центра кривизны С магнитной силовой линии (рис. 220). Ось вращения направим параллельно бинормали b этой силовой линии (она перпендикулярна к плоскости рисунка). Величину угловой скорости вращения Я определим из условия v,\ = [Я/?]. Тогда в рассматриваемой локальной системе отсчета частица будет иметь только поперечную скорость v1, которая играет роль относительной скорости ©отн. При рассмотрении движения в локальной системе отсчета к действующим силам надо добавить две силы инерции: кориолисову и центробежную. Силу инерции, вызванную неравномерностью вращения, учитывать не надо, так как она может влиять на дрейф частицы лишь во втором или высшем порядке малости. Кориолисова сила инерции 2т [®ОТ11Я] = 2mQ [vLb] направлена вдоль силовой линии, а потому она будет изменять только продольную составляющую Уц скорости v. Центробежная сила инерции mvlfi/R2 вызовет дрейф в перпендикулярном направлении. Скорость этого дрейфа, согласно формуле (86.4), определяется выражением
Если N — единичный вектор главной нормали к магнитной силовой линии, то R = —RN. Поэтому, полагая в последнем соотношении В = Bh и учитывая, что Ь = [ЛУУ], получим
Поскольку дрейф, выражаемый этой формулой, вызывается центробежной силой инерции, он называется центробежным дрейфом.
6. Теперь можно обратиться к общему случаю, т. е. к случаю произвольного электромагнитного поля, для которого справедливо дрейфовое приближение. Так как все дрейфы, которые были рассмотрены, в первом приближении независимы, то в общем случае их надо просто сложить. Таким путем для скорости сглаженного движения ведущего центра в пространстве, где ие текут электрические токи, получаем
Здесь произведены небольшие изменения в обозначениях. Под h мы теперь понимаем единичный вектор касательной к магнитной силовой линии, проходящей через ведущий центр, а не через саму частицу. Величины же иц и v L означают усредненные скорости частицы вдоль этого нового вектора h и перпендикулярно к нему. Точно так же значения полей В и Е мы берем в точке нахождения
V= vtlh + ^ [ЕВ] + (щ +1 v\) b. (87.5)
адиабатический инвариант
393
ведущего центра, а не частицы. Такая замена совершенно не затрагивает все слагаемые в правой части формулы (87.5), за исключением первого, так как она меняет эти слагаемые только в первом или высшем порядке малости. Но эта замена существенна для слагаемого щіі, так как она нулевого порядка малости. Если бы сохранить прежний смысл вектора к, то в это слагаемое надо было бы ввести поправку первого порядка малости. Если же понимать h в новом смысле, как мы сделали, то такая поправка не нужна.
Итак, в сильном, но слабо неоднородном магнитном пом при наличии слабого электрического поля заряженная частица быстро вращается по ларморовской окружности. Центр ларморовской окружности движется вдоль магнитной силовой линии со скоростью уц и испытывает дрейф перпендикулярно к магнитному полю. Дрейф вызывается электрическим полем и неоднородностями магнитного поля. Скорость электрического дрейфа определяется выражением
р- [ЕВ\. Направление этого дрейфа не зависит cm знака заряда
частицы. Дрейф, вызываемый неоднородностями магнитного поля, происходит в направлении бинормали к магнитной силовой линии, причем положительно заряженные частицы дрейфуют в положительном направлении бинормали, а отрицательно заряженные — в противоположном направлении. Скорость этого «магнитного»
дрейфа определяется выражением + у v±)b.
§ 88. Адиабатический инвариант
1. При движении заряженной частицы в неоднородном магнитном поле или при изменении самого магнитного поля ларморовский радиус частицы р, а также ее поперечная скорость vL изменяются. Исследуем характер этого изменения, предполагая, что магнитное поле слабо неоднородно и меняется во времени медленно.
Рассмотрим сначала случай, когда частица движется перпендикулярно к магнитному полю В, а само поле В однородно и меняется только во времени. Предположим, что электрического поля нет, за исключением поля, обусловленного изменениями В во времени. В этих условиях дрейф частицы отсутствует, как это видно из формулы (87.5). Если бы магнитное поле было постоянно, то частица двигалась бы по окружности радиуса р = v/a. При изменении магнитного поля траектория частицы перестает быть замкнутой. Однако если магнитное поле меняется медленно, то за циклотронный период Т — 2я/со отклонения траектории от окружности будут малы. Переменное магнитное поле индуцирует поле электрическое. Вследствие этого ларморовский радиус р и скорость частицы v изменяются в соответствии с уравнением mi) = eEs, где Es — проекция электрического поля Е на направление траектории. Изменениями величины Es за циклотронный период можно пренебречь, а ввиду
