Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
394
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. V
незначительности отклонения траектории от ларморовской окружности вместо Es можно взять проекцию вектора Е на направление ларморовской окружности (последняя на рис. 221 изображена пунктиром). Тогда Es определится из уравнения
Здесь производная йФIdt взята с плюсом, а не с минусом, так как речь идет о проекции на направление движения частицы, а оно
Таким образом, величина ог1В при движении частицы сохраняется неизменной. Однако это справедливо только при медленных изменениях магнитного поля, т. е. величина и2/В является не' точным интегралом движения, а адиабатическим инвариантом.
Если у частицы есть продольная скорость vs, то эта скорость не окажет никакого влияния на поперечное движение. В нашем рассуждении полную скорость v надо просто заменить ее поперечной составляющей vL, что дает
Адиабатическим инвариантом будет величина v\!B.
2. Рассмотрим теперь случай, когда магнитное поле, в котором движется частица, постоянно, но слабо неоднородно. Допустим, что дрейф в боковом направлении отсутствует, т. е. ведущий центр частицы движется вдоль магнитной силовой линии. Последнюю ради простоты будем считать прямолинейной (она на рис. 222 изображена пунктиром). Частица может двигаться как в сторону схождения, так и в сторону расхождения магнитных силовых линий. При движении на частицу действует сила Лорентца F =
= Y [©В]. Она имеет слагающую вдоль центральной силовой линии.
Эта слагающая будет замедлять продольное движение частицы, если оно происходит в направлении схождения магнитных силовых линий, и ускорять в противоположном случае. А так как полная
при е > о противоположно положительному направлению обхода контура. Написанное уравнение дает
Cs 2с dt ^ 2еВ dt ’
Уравнение движения частицы переходит в
р dB mv dB
- — —-- =J ——— -------------
at zts at *
Отсюда после интегрирования получим
= const.
ас zts at'
Рис. 221.
V-~ = const.
(88.1)
адиабатический ИНВАРИАНТ
395
кинетическая энергия частицы сохраняется, то возрастание продольной скорости 1'ц будет сопровождаться убыванием поперечной vx, и наоборот. Покажем, что при этом соотношение (88.1) остается справедливым. Для этого достаточно перейти к системе отсчета, движущейся со скоростью ©і,. Поступательная сила инерции —ті)ц, появляющаяся в этой системе, параллельна магнитному полю В, а потому не оказывает никакого влияния на скорость дрейфа. Однако в движущейся системе отсчета магнитное поле В становится переменным, и к нему полностью применимы рассуждения, которыми мы пользовались при доказательстве формулы (88.1).
3. Допустим теперь, что есть дрейф в поперечном направлении со скоростью г>д. Этот дрейф может вызываться либо электрическим полем, либо неоднородностями магнитного поля, либо и тем и другим. Он может вызываться и любыми другими силами. Для последующего изложения все это не имеет никакого значения.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью Од. Силой инерции —tnv д в этом случае можно пренебречь, как величиной второго или высшего порядка малости. После этого рассматриваемый случай сведется к уже рассмотренным. Отсюда следует, что адиабатическим инвариантом будет величина v'1/В, где
— скорость частицы в движущейся системе отсчета. Но v[ есть скорость вращения частицы по ларморовской окружности, если отвлечься от дрейфового движения последней и от движения вдоль магнитной силовой линии. Таким образом, адиабатическая инвариантность v\!B сохраняется, если понимать под vx скорость вращения частицы по ларморовской окружности в только что указанном смысле.
4. Частица, вращающаяся по ларморовскому кружку, обладает магнитным моментом ЭЛ, величина которого, как легко вычислить, равна mv\l(2B). Этот момент направлен против поля независимо от знака заряда частицы, а потому в векторной форме
(88.2)
Аналогично, магнитный поток через ларморовский кружок равен
m2c2v3.
(88-3)
С учетом соотношения (88.1) отсюда следует, что обе величины и Ф являются адиабатическими инвариантами.
5. С адиабатической инвариантностью величины (88.1) связано явление отражения заряженных частиц от областей сильного магнитного поля. Пусть магнитное поле не меняется во времени,
Рис. 222.
396
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
[ГЛ. V
а частица движется в сторону схождения магнитных силовых линий. Тогда, как было выяснено в пункте 2, ее продольная скорость будет уменьшаться, а поперечная — увеличиваться. Если v — полная скорость, а а — угол наклона ее к магнитной силовой линии, то vL — v sin а. А так как при движении в постоянном магнитном поле величина скорости v не изменяется, то из (88.1) следует
sin2 a sin2an . /0о л\
—б— = ,, ¦¦ = const. (88.4)
и UQ
Здесь индексом нуль обозначены значения В и а в каком-либо положении частицы, условно принимаемом за исходное. Из полученного соотношения следует, что в область, определяемую условием В > ?0/sin2 a0, частица проникнуть не может, так как в противном случае | sin а | должен был бы превзойти единицу. По мере продвижения в область более сильного поля угол а будет возрастать. Если при этом он все время остается меньше 90°, то частица будет продолжать движение вперед. Это будет тогда, когда для всех точек траектории выполняется условие
