Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Обобщим теперь формулу (69.3) на случай произвольного числа витков. Предполагая опять все витки неподвижными, будем увеличивать токи в них. Тогда для элементарной работы против электродвижущей силы индукции можно по аналогии с формулой
(69.1) написать
g^Biieui = ^ (ІФі, (69.4)
І
где суммирование ведется по всем виткам. Магнитная энергия в конечном состоянии представится интегралом
где штрихованными буквами <з7\ и Фг обозначены переменные (текущие) значения соответствующих величин. Символы 31 и Фг сохранены для обозначения токов и магнитных потоков в конечном состоянии.
Для вычисления интеграла заметим, что его величина не зависит от «пути интегрирования», т. е. от характера изменения силы токов в проводах. Можно, например, возбуждать токи последовательно: сначала создать ток только в первом витке, доведя его значение до величины затем, не меняя начать возбуждать ток во втором витке и т. д. Но можно возбуждать токи сразу во всех витках и притом независимо друг от друга. Результат вычисления магнитной энергии во всех случаях будет один и тот же. Чтобы упростить расчет, будем наращивать все токи одновременно и притом так, чтобы они оставались пропорциональными друг другу. Таким образом, в любой момент будет соблюдаться соотношение где X — переменная величина, не зависящая от і. В начальном состоянии X = 0, в конечном X = 1. Так как при отсутствии ферромагнитных материалов магнитные потоки связаны с токами линейно, то для них справедливы такие же соотношения, т. е. Ф; = Я.Ф,-,
290
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
а потому йФ1 = ФійХ. Таким образом,
і
о
или после интегрирования
^=і 2^гФг=і- 2 2 (69-5)
3. При расчете предполагалось, что в процессе намагничивания магнитная проницаемость р, оставалась постоянной. Только при этом условии связь между токами и магнитными потоками будет линейной. Можно показать (см. § 73), что если |д. зависит от температуры, то при намагничивании температура магнетика, а с ней и величина ц будут меняться. В этом случае расчет неприменим. Однако он становится применимым, если при намагничивании температуру поддерживать постоянной. Тогда величина Wm будет иметь смысл работы, совершаемой над системой при изотермическом и квазистатическом нарастании тока в проводах. Такая работа в термодинамике называется свободной энергией. Таким образом, формулы (69.3) и (69.5) в общем случае определяют не внутреннюю, а свободную магнитную энергию системы. Здесь все обстоит так же, как и в аналогичном вопросе электростатики (см. § 28, пункт 4).
4, Используя формулы (69.4) и (69.5), докажем теорему взаимности для коэффициентов взаимной индукции, о которой говорилось в предыдущем параграфе. Согласно этой теореме матрица коэффициентов Lik симметрична, т. е.
Lik = Lki. (69.6)
Достаточно доказать это соотношение для какой-либо пары индексов, например і = 1, k = 2. Так как коэффициенты Lik не зависят от токов, то с целью упрощения вычислений можно предположить, что токи текут только по виткам 1 и 2, а в остальных витках токи равны нулю. Если бесконечно мало изменить токи и <&г, то на это потребуется затратить работу
бЛвиеш = _!
Она пойдет на приращение магнитной энергии токов dWm = 6Лпнеш. Но эта энергия в рассматриваемом случае дается выражением
~2с "Ь^Фг), а ее приращение — выражением
dWm = ±(&1dФl + &idФi)+l-(Ф1d&1 + Фid&я).
МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ТОКОВ
291
Сравнивая оба выражения для dWm, получим
j dOi + 0^2 d(lK = cpj di?і + Ф-2 d'^2- (69.7)
Это соотношение справедливо при любых значениях &&і и Поэтому для сокращения последующих вычислений можно взять d ‘72 = 0, т. е. #2 = const. Магнитные потоки определяются выражениями
Фі = ~ (^n^i + ^12^2) > Фг = ~ (Ецз?і + 2).
Из них дифференцированием при постоянном е72 находим = — Ьц d^i, с?Ф2 — -- L‘21
Подставляя эти выражения в соотношение (69.7), получим Ln#j j + L‘11^2 d 1 = (Ьц<з7j + Ll2^2) x-
Отсюда следует L12 = L21, и теорема взаимности доказана. При доказательстве сопротивления проводов не учитывались. Но это не имеет значения, так как коэффициенты взаимной индукции Lik зависят только от формы и расположения проводов, а также от распределения плотности электрического тока по их сечениям.
5. В заключение этого параграфа разберем следующий парадокс.
Сила действующая в магнитном поле на движущийся
заряд, перпендикулярна к его скорости V, а потому работы не производит. Почему же при движении витка с током (например, якоря электромотора) в магнитном поле механическая работа над проводником, несомненно, производится? Дело в том, что это не есть полная работа магнитного поля над движущимися зарядами, являющимися носителями тока в проводнике. Рассмотрим тождество
где v — скорость проводника, a j — плотность электрического тока в нем. Слева стоит работа амперовой силы/амп =у [jB] (над единицей объема проводника в единицу времени, справа — взятая со знаком минус такая же работа электрического поля индукции ?инд, возникающего при движении проводника. Полная работа Лполн = = Ламп + Аяня равна нулю. Допустим теперь, что в цепь включена батарея или какой-либо другой источник тока. Тогда добавится работа батареи; Лполн = Атп + Аивл + Лбат. Пусть электродвижущая сила батареи подобрана так, что она в каждый момент времени компенсирует электродвижущую силу индукции, поддерживая ток в цепи постоянным. Тогда Линд + А6„ = 0, и если потери на джоулево тепло пренебрежимо малы, то Лполн = Ламп. Таким образом, работа Ламп производится за счет энергии батареи.
