Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
1. На тор, изготовленный из парамагнетика и имеющий регулируемый воздушный зазор d, намотана катушка (рис. 181). При d = 0 индуктивность катушки L = L0, при d~dx = 1 мм она вдвое меньше (L = Lx = LJ2). При каком зазоре d индуктивность L будет равна L0/4?
Ответ, d -—т^гйх — 3 мм.
L (м>— L.і)
2. Вычислить индуктивность L тороидальной обмотки, намотанной на цилиндр высоты Ь с внутренним радиусом R и наружным R + а (рис. 182). Число витков катушки равно іV, магнитная проницаемость ц = 1.
Ответ. L = 26jV In (1 + a/R).
3. В предыдущей задаче по оси катушки протянут бесконечно длинный прямолинейный провод (не показанный на рис. 182). Вычислить взаимную индуктивность. L12 между катушкой и этим проводом.
О т в е т. LX2 — L = 2bN In (1 + a/R).
4. Внутрь тонкого воздушного соленоида вставлена маленькая плоская катушечка с числом витков п = 40 и площадью витка 5=10 см2, по обмотке которой течет ток 3 = 1 А. Длина соленоида I = 50 см, число витков в нем jV = 10 000.
ИНДУКТИВНОСТЬ ПРОВОДОВ
287
Ось катушечки параллельна оси соленоида. Определить магнитный поток, кото рый посылает мапштное поле катушечки через обмотку соленоида.
Ответ. Ф]2 = 4зіNnS є7Ції) = 105 Мне = 10"® Вб.
Указание. Использовать теорему взаимности Ln = L2\.
5. На поверхность кругового тора прямоугольного поперечного сечения с размерами а = 17,2 см и b = 5 см навита обмотка тонкой проволоки, содержащая N = 1000 витков. (На рис. 183 изображена половина тора. Обмотка не показана.) На тор надета кольцевая катушка с числом витков п = 100, по обмотке
которой течет ток силою 3 ~ 1 А. Внутренний радиус тора равен / = 10 см. Определить магнитный поток, который посылает магнитное поле катушки через обмотку тора.
Ответ. Ф12 = 2Nnb <?f In (1 + a/r) = 105 Мкс = 10~3 Вб.
6. При отключении цепей постоянного тока, обладающих большой индуктивностью (например, обмоток возбуждения генераторов постоянного тока), эти
цепи предварительно замыкают на параллельно включенное сопротивление г для ограничения перенапряжений (рис. 184). Определить, во сколько раз в этом случае максимальное напряжение на зажимах цепи Умакс будет превышать приложенное постоянное напряжение V0-
Ответ. Км!,кс/К0 = r/R. Чем меньше г, тем меньше Кмякс. Однако слишком малым г брать не следует во избежание больших нагрузок на источник тока. Достаточно, чтобы VMaKC не превышало V0, т. е. г должно быть меньше или порядка R.
Рис. 181
Рис. 182.
Рис. 183.
Рис. 184.
238
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
§ 69. Магнитная энергия токов
1. Электрический ток обладает запасом энергии, называемой магнитной. При ее вычислении можно полностью отвлечься от сопротивления проводов, по которым текут токи, полагая это сопротивление равным нулю. Это ие может отразиться на общности результата, так как магнитная энергия может зависеть только от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств среды, заполняющей пространство. Считая же провода идеально проводящими, мы упростим рассуждение, так как в расчетах не надо будет учитывать потери энергии на джоулево тепло.
Рассмотрим сначала одиночный неподвижный замкнутый виток проволоки. Пусть в начальный момент сила тока в нем равна нулю. Будем каким-либо способом создавать и наращивать ток в витке 3. Тогда будет нарастать и магнитный поток через виток Ф, Возникнет электродвижущая сила индукции. Элементарная работа, которую должен совершить внешний источник против электродвижущей силы индукции, будет
Зівнеш = _ §инд$ dt,
или ввиду соотношения (64.1)
6Лвнеш = ± d<D. (69.1)
Полученное соотношение носит общий характер. Оно справедливо и для ферромагнитных материалов, так как при его выводе относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако если среда не обладает гистерезисом, в частности является пара- или диамагнитной, то работа 6Лы,еш пойдет только на увеличение магнитной энергии Wm, так что
dWm = fdO. (69.2)
В этом параграфе мы будем предполагать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда Ф — Ьз7!с, причем для неподвижного провода самоиндукция L остается постоянной. Используя это и интегрируя, получим
®'-=ї(т)‘=і--ф=?-
(В практической системе и системе СГСМ вместо #/с следует писать просто а7.) Для справедливости формулы (69.3) несущественно, что во время нарастания тока виток оставался неподвижным, так как энергия зависит только от состояния системы, но не от способа, каким было достигнуто это состояние. Например, переход в конечное состояние можно осуществлять следующим образом. Пока
МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ТОКОВ
289
в проводе нет тока, деформируем его, чтобы он принял окончательную конфигурацию. Это не требует затраты работы. Затем, сохраняя провод неподвижным, будем наращивать ток до конечного значения <?7. На это потребуется работа Ls5r2/(2c2). Она и будет равна искомому приращению магнитной энергии. Приведенное рассуждение показывает, что в формуле (69.3) под L следует понимать самоиндукцию витка в конечном состоянии.
Формула (69.3) освобождает понятие самоиндукции от той неопределенности, на которую было указано в § 68. Действительно, ток 3 и магнитная энергия Wm — величины, определяемые совершенно однозначно. Поэтому по формуле (69.3) можно вычислить также совершенно однозначно и коэффициент самоиндукции L. Более того, эта формула может служить для определения L и в тех случаях, когда провод толстый.
