Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
292
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
§ 70. Локализация магнитной энергии в пространстве
1. Формулы (69.2) выражают магнитную энергию через токи и магнитные потоки. В таком виде величина (69.3) может рассматриваться как потенциальная энергия токов, взаимодействующих по закону Ампера. Это соответствует представлению о непосредственном действии на расстоянии. Но выражение для магнитной энергии можно преобразовать в другую форму, которая соответствует совершенно иному представлению о месте нахождения энергии. Покажем это на примере длинного соленоида, по поверхности которого циркулирует ток с линейной плотностью і =3И (I — длина соленоида). Мы не будем пользоваться выражениями (69.3) для энергии токов, так как они справедливы лишь при условии, что векторы В и Н связаны соотношением В = \iff, а воспользуемся общей формулой (69.2), справедливость которой предполагает только, что между В и Н существует какая-то однозначная, но не обязательно линейная функциональная связь (нет гистерезиса). Пренебрегая краевыми эффектами, можно написать для псля Н внутри соленоида Н = 4лі/с = 4яй57(с/), откуда $ = = с1Н/(4л). Пусть S — площадь поперечного сечения соленоида. Тогда Ф — BS, и, следовательно,
d Wm = f йФ = ± tSHdB = -^(H dB)
(F = SI — объем соленоида). Если wm — магнитная энергия, приходящаяся на единицу объема соленоида, то для ее дифференциала можно написать
dwm = ±(HdB). (70.1)
И в общем случае постоянных электрических токов, произвольным образом текущих в пространстве, можно доказать, что выражение для магнитной энергии может быть преобразовано к виду
Wm = \wm dV, (70.2)
где wm определяется прежней формулой (70.1). Это — чисто математический вопрос, совершенно аналогичный соответствующему вопросу в электростатике. Опуская здесь математические преобразования, остановимся только на физическом смысле формулы (70.2). Ее можно истолковать в том смысле, что магнитная энергия локализована в пространстве с объемной плотностью wm. Это соответствует представлениям теории поля. В рамках учения о постоянных токах и постоянных магнитных полях нельзя указать ни одного опыта, который бы решал вопрос в пользу одного из двух представлений
о локализации магнитной энергии: представления теории непосредственного действия на расстоянии и представления теории поля.
ЛОКАЛИЗАЦИЯ МАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
293
Здесь дело обстоит совершенно так же, как в электростатике. Лишь явления в быстропеременных полях, например распространение электромагнитных волн, позволяют сделать соответствующий выбор. Они согласуются только с представлением теории поля о локализации магнитной энергии в пространстве. В случае быстропеременных полей формулы (69.3) просто лишены смысла.
В случае пара- и диамагнитных сред В = |х//и выражение (70.1) можно проинтегрировать. Таким путем получим
‘“¦=кі‘№=к™"8ІГ' <70-3»
2. Приведем теперь математическое доказательство формулы (70.2). Как будет видно из доказательства, можно ограничиться магнитным полем одного витка. Обобщение на случай многих витков чисто формальное и не встречает никаких затруднений. Считая виток неподвижным и полагая в формуле (69.2) йФ = \ dB dS,
s
получим
dWm=~\\ dBdS, s
где интегрирование еєдєтся по произвольной поверхности, натянутой на контур тока I. Дальнейшие преобразования используют понятие векторного потенциала. Можно доказать (см. задачи 1 и 2 к этому параграфу), что всякий вектор, дивергенция которого равна нулю, может быть представлен в виде ротора другого вектора. Так как div В = 0, то на этом основании можно написать
В = тоіА. (70.4)
Вектор А и называется векторным потенциалом магнитного поля. Из формулы (70.4) следует: dB = rot dA. Используя это соотношение н применяя теорему Стокса, находим
dWm = ~ ^ dSrot dA= ~ <^> (dl dA). s і
Вместо линейного введем объемный элемент тока j dV = 3 dl и воспользуемся теоремой о циркуляции rot Н = 4 л jjc. Тогда
dwm = ~- jj (dA rot H)dV,]
V
где интеграл распространен по всему пространству, по которому течет ток. Применяя известное тождество векторного анализа (см. задачу 3 к этому параграфу), преобразуем подынтегральное выражение к виду
dA rot //= div [НdA] + Нrot dA = div [HdA] + HdB.
Интеграл от дивергенции можно преобразовать в поверхностный, взяв в качестве поверхности интегрирования бесконечно удаленную поверхность. Если все токи текут в конечной области пространства, то магнитное поле будет убывать на бесконечности достаточно быстро и рассматриваемый интеграл обратится в нуль.
294
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
[ГЛ. III
В результате получится
dW,
dV.
Отсюда после интегрирования по dB получим Wm = \wmdV, где
ЗАДАЧИ
HdB.
1. Доказать, что для произвольного вектора А справедливо соотношение div rot А = 0.
2. Доказать, что если div В = 0, то вектор В может быть предстевлен п виде В — rot А.
Решение. Содержание теоремы сводится к утверждению, что уравнение rot А = В, где В — заданный, а А — неизвестный вектор, имеет решение. Покажем, например, что существует решение, в котором Аг = 0. В этом случае рассматриваемое уравнение сводится к системе трех скалярных уравнений:
