Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 118. Формула Планка
[ГЛ. X
1. Правильная формула для "спектральной плотности энергии равновесного излучения, подтвержденная всеми экспериментальными исследованиями, была найдена Планком сначала полуэмпирическим путем. Спустя короткое время, Планк нашел теоретический вывод этой формулы, изложенный им 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического Общества. Этот день считается днем рождения новой — квантовой ¦— физики. Идея о квантах, осторожно формулированная Планком, развилась в стройное и глубокое учение, нокорившее всю физику. Решение проблемы равновесного излучения Планком было бы невозможно, если бы в своих исследованиях он не находился в тесном контакте с экспериментаторами. Из экспериментальных работ по излучению абсолютно черного тела особенно следует отметить исследования Лэнглея (1834—1906), Рубенса (1865—1922), Пашена (1865—1947), Вина, Луммера,(1860— 1925), Э. Принсхейма (1859—1917), Курльбаума.
2. Гипотеза Планка состоит в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Получим формулу Планка тем же методом, который применялся при выводе формулы Рэлея — Джинса. Тогда гипотезу Планка удобно взять в следующей форме: энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд: 0, S0, 2S0, 3S0, ..., где S0 — определенная величина, зависящая только от собственной частоты со осциллятора. Здесь под осциллятором понимается не только частица, могущая совершать гармонические свободные колебания, но, например, и стоячая волна определенной частоты в полости.
Если осциллятор изолирован, то по истечении достаточно длительного времени он потеряет всю свою энергию на излучение и перейдет на наинизший энергетический уровень с энергией S = O. Но если осциллятор находится в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре, то наряду с излучением будут происходить и акты поглощения, в результате которых возбуждаются и высшие энергетические уровни. Установится вполне определенное состояние детального равновесия, в котором число актов излучения в среднем радно числу обратных актов поглощения. В этом состоянии будут возбуждены все энергетические уровни, но с различными вероятностями. И все, что требуется для нахождения функции Ua (со, Т), — это определить среднюю энергию Ш осциллятора в этом состоянии статистического равновесия. Такая задача уже была решена нами (см. т. II, § 85). Приведем еще раз это решение в несколько измененной форме. По теореме Больцмана вероятности возбуждения энергетических уровней осциллятора § 1181
ФОРМУЛА ПЛАНКА
699
пропорциональны величинам
1 0-%olkt р—2%t,lkT
Mc* ) ^ , » » •
Поэтому
OO OO
2 пШф-а*ЧЬТ J! пе-»*
05 П= 1 ю П = 1
6 =—S-=®о
СО '
g-ngo/АГ 2 е-"-«
n=0 H=O
где введено обозначение х = E0ZkT. Значение знаменателя определяется формулой
со
у ^ 1
1 — 6~х * я =O
Числитель находится дифференцированием этой формулы по х\
ргх
пе-ПХ .
__(1-е--*)2*
Л=1
и следовательно,
S0
еАГ- 1 еМкТ_1
(118.1)
Подставив это значение в формулу (117.8), найдем
U10 = JSL f« . (118.2)
03 п2с3 е^!кт — 1
Перейдем в этой формуле к пределу E0 -> 0. Тогда Cs^kr a; SK 1 + E0ZkT, а потому Ш— kT. Получается классическое выражение для средней энергии осциллятора. Формула (118.2) в рассматриваемом предельном случае переходит, следовательно, в формулу Рэлея — Джинса. Этого и следовало ожидать, так как переход к пределу E0-+ О фактически означает возвращение к классическому рассмотрению, когда энергия осциллятора меняется не дискретными порциями, а непрерывно. Однако Планк, и это привело его к великому открытию, поставил вопрос, что получится, если предельный переход E0 -*¦ О не, производить. Величину E0 он определил из требования, чтобы выражение (118.2) удовлетворяло общей термодинамической формуле Вина (116.10). Приравняв (118.2) и (116.10), видим, что это требование сводится к выполнению соотношения
1 So/a WjBLV (118.3)
П2С3 eSo/Ar — J
:тика только самогс не может зависеть от температуры T — макроскопического пара
Но E0 есть характеристика только самого осциллятора, а потому 700 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. x^
метра, определяющего состояние вещества и излучения. Величина M0 может зависеть только от собственной частоты со осциллятора. В таком случае, чтобы левая часть равенства (118.3) была функцией только аргумента а/Т, необходимо и достаточно, чтобы
Ё0 = Па, (118.4)
где H — постоянная. Она универсальна, поскольку в правой части (118.3) стоит универсальная функция f (а/Т) аргумента а/Т, Величина U называется постоянной Планка. Ее численное значение по современным данным равно
П = (1,0545887 ± 0,0000057) • 10~27 эрг•с =
= (1,0545887 ± 0,0000057) • 10-84 Дж • с. (118.5)
Сам Планк пользовался постоянной
h = 2пН = (6,626176 ± 0,000036) • 10~27 эрг ¦ с =
«= (6,626176 ± 0,000036) • IO"34 Дж • с, (118.5а)
