Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
• Л]7П
дх2 ду2 дг2 с2 dt2 U1'-1/
Предположим, что на стенках полости функция V обращается в нуль. Тогда (а также и при других граничных условиях) по теореме Фурье функция V (г, t) может быть представлена суперпозицией стоячих волн. Координатные осй X, Y, Z направим параллельно ребрам кубической полости. Так как граничные условия должны удовлетворяться на гранях х = 0, у = 0, z = 0 и на параллельных им гранях полости, то каждая стоячая волна должна представляться функцией с разделяющимися переменными, т, е.
V = X(X)Y (у) Z (г) ехр (/со/).
Отсюда
J _ J_ 1 д2У _ са2
V дх2 ~ X dx2 ' -'-' V dt2 ~ с2 *
Подставив эти выражения в уравнение (117.1), получим
X dx2 + Y df + Z dz2 ~ с2'
Левая часть этого уравнения есть сумма функций от х, у, г соответственно, т. е. от различных переменных. Она равна постоянной со2/с2. Это может быть тогда и только тогда, когда каждая из этих функций сама постоянна, т. е.
J_d*X_ 2 ± з 1 d?Z _ a
X dx2 — qx' Y dy2 — q^ Z dz2 ~~ ^z'
где qx, qy, qz — постоянные, удовлетворяющие условию
ql + ql + q\ ^q2(117.2)
Решение первого уравнения запишем в виде X =а sin (qxx + бх), где 6Х — постоянная интегрирования. Второй постоянной интегри- 694.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
рования служит амплитуда, которую без потери общности можно опустить. На грани полости х = 0 функция X должна обращаться в нуль, т. е. sin бх = 0. Также не теряя общности, можно положить 8Х =5 0. На противоположной грани х = I, где I — длина ребра кубической полости, функция X также должна обращаться в нуль, а потому sin kxl = 0. Такие же результаті получаются и для координат у и г. Следовательно,
V = SinqxX sin qy у sin qzzem, (117.3)
где ¦
qxl = mxn, qyl = myn, qzl = mzn, (117.4)
a mx, rriy, mz — целые числа. Все их можно считать положительными, так как введение отрицательных чисел не приводит к новым, линейно независимым решениям. В выражение (117.3) можно было бы ввести еще постоянную амплитуду, зависящую от тх, ту, тг, но для наших целей в этом нет надобности. Это выражение и представляет общий вид стоячей волны в полости. Каждой тройке целых положительных чисел тх, ту, тг, удовлетворяющей условиям (117.4), соответствует одна стоячая волна. Число возможных стоячих волн бесконечно велико.
Будем рассматривать qx, qy, qz как прямоугольные координаты точки трехмерного «пространства волновых векторов» q. Эти «изображающие точки» расположатся в узлах кубической решетки, элементарная ячейка которой есть кубик с длиной стороны Aqx = = (nil)Amx = я/1 и объемом (я//)3. Решетка заполняет только положительный октант пространства волновых векторов, так как все координаты qx, qy, qz положительны. Объем части шара радиуса q, лежащей в этом октанте, равен 1/8(4я/3) q3 = (я/6) <7®. Число изображающих точек в нем и будет равно числу Z стоячих волн, волновые числа которых не превосходят q = 2л/К. Подавляющее число волн очень короткие, для них величина q очень велика по сравнению с длиной яH ребра элементарного кубика. Поэтому число стоячих волн в указанном октанте шара найдется делением его объема на объем элементарного кубика. Таким путем получается асимптотическая формула
7 _ ("/6) д3 _ У -з.._ V Л17«
~ 6д2 Ч — 6я2 сЗ ' (Ii/.^
где V = P — объем полости. Она справедлива, когда сторона кубической полости очень велика по сравнению с длиной волны X = = 2лIq. Можно доказать, что формула (117.5) остается верной и для полости произвольной формы, хотя в этом случае стоячие волны и не будут представляться выражениями вида (117.3).
Дифференцируя (117.5), получим
dZ = ^r fdq = ^coMco. (117.6)
§ 117] формула рэлея - джинса
695
Эта асимптотическая формула дает число стоячих волн в интервале частот со, to + dco. Она, разумеется, справедлива только для достаточно широких интервалов dco, когда dZ ;> 1.
3. Рассуждения существенно не изменятся и в случае векторного (электромагнитного) поля. В этом случае вектор E и его прямоугольные составляющие Ex, Ey, Ez удовлетворяют прежнему волновому уравнению (117.1). Для полости с идеально зеркальными стенками граничные условия требуют обращения в нуль тангенциальных составляющих вектора E на стенках полости. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
ElJ = Ez = 0 при х = 0 и х = 1, Ez = Ex = 0 при у = 0 и у = 1, Ex = Ey = 0 при 2 = 0 и Z = L
Стоячая волна, удовлетворяющая этим условиям, имеет вид Ex = sin (qxx + q>x) sin qyy sin qzz e ш, Ey = sin qxx sin (qyy + <рй) sin qzz em, Ez = sin.qxx sin qyy sin (qzz + фг) еш,
где qx, qy, qz определяются прежними формулами (117.4). Что касается фаз ц>х, фу, ф,, то их можно было бы найти из граничных условий, которым на стенках полости удовлетворяют нормальные составляющие электрического вектора Е. Но для наших целей в этом нет необходимости, так как для определения величин Z и dZ достаточно знать только значения, которые могут принимать составляющие qx, qy, qz. Однако по сравнению с предыдущим случаем выражения (117.5) и (117.6) надо удвоить, так как электромагнитные волны векторные и притом поперечные. Каждому направлению распространения соответствуют две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, в результате суперпозиции которых может быть получена волна любой поляризации, распространяющаяся в том же направлении. Итак, для электромагнитного поля
