Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
'Система совершила круговой процесс, в ходе которого она не получала и не отдавала тепло, а общая работа, произведенная ею, равна нулю. Значит, в окружающих телах не произошло никаких изменений, а потому рассматриваемый круговой процесс обратим. Но это невозможно, так как одна из стадий этого кругового процесса по нашему предположению необратима. Следовательно, это предположение неверно, и теорема Вина доказана.
2. Значение теоремы Вина — методическое. Действительно, адиабатически и квазистатически меняя объем равновесного излучения в оболочке с идеально зеркальными стенками, можно получить равновесное излучение произвольной плотности, а следовательно, и температуры. Энергию (и температуру) этого излучения можно найти, вычислив работу, совершенную над ним в этом процессе. Его спектральный состав найдется, если вычислить допплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Тем самым будет установлено определенное соответствие между параметрами равновесного излучения в,начале процесса и на любой стадии его.
Применим этот метод к равновесному излучению в сферической оболочке с идеально зеркальными стенками. При бесконечно медленном адиабатическом расширении или сжатии оболочки .излучение в ней все время будет оставаться равновесным, так что его можно в любой момент времени характеризовать определенной темпер ату- § 116]
теорема и закон смещения вина
689
рой Т. Выделим внутри оболочки произвольный луч, падающий на оболочку под углом О (рис. 342). Время между двумя последовательными отражениями этого луча равно At = (2r/c) cosd. За это время радиус оболочки г получает приращение Ar = г At. При каждом отражении происходит допплеровское изменение частоты, определяемое формулой
Дсо _ 2г cos o_ 2Дг cos G _ Ar
со с с At г '
Щ
если пренебречь квадратом бесконечно малой радиальной скорости f расширения оболочки. Относительное изменение частоты Дсо'м определяется только относительным изменением Arlr радиуса оболочки. Такая же формула получится и в том случае, когда за время изменения радиуса оболочки на Ar произойдет не одно, а много отражений светового луча. Требуется только, чтобы выполнялось условие Ar г. При бесконечно медленном расширении величины Дг и Дм можно заменить их'дифференциалами, т. е. написать
^ + 1Л- = 0. (116.1) со 'г v '
Это означает, что реальный процесс, в котором последовательные отражения отде- Рис. 342. лены друг -от друга малыми, но все же
конечными промежутками времени, при расчетах заменяется идеализированной схемой, в которой эти отражения следуют друг за другом непрерывно во времени. Интегрируя уравнение (116.1), получим
cor = Const. (116.2)
Так как г ^ Vі13, то этот результат можно записать также в вида
COsV = const. (116.3)
В таком виде он справедлив для полости произвольной формы. А поскольку он получен для бесконечно медленного процесса, величина Co3V является адиабатическим инвариантом. Комбинируя его с ранее полученными адиабатическими инвариантами (115.1) и (115.3), получим новые адиабатические инварианты. Так, из формул (115.1) и (116.3) следует
——- = const, (116.4)
и '
или на основании закона Стефана — Больцмана
JT = const.
(116.5) 690.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
Аналогично, формулы (115.3) и (116.3) дают
Ua da
= COnst. (116.6)
Таким образом, при квазистатическом расширении или сжатии равновесного излучения в полости с зеркальными стенками каждая квазимонохроматическая составляющая излучения ведет себя независимо от остальных составляющих и меняется так, что величины (O8V, «'со4 и иа dсо1 со4 остаются постоянными, т. е. являются адиабатическими инвариантами. По теореме Вина при таком процессе излучение все время остается равновесным. Такое же излучение можно было бы получить в неподвижной оболочке, нагревая или охлаждая ее стенки. Поэтому полученные результаты можно представить как свойства только самого равновесного излучения, не связывая их ни с каким конкретным процессом. Сформулируем их следующим образом. Изменим любым способом температуру равновесного излучения от T до T', чтобы излучение оставалось равновесным. Каждой частоте со излучения в начальном состоянии приведем в соответствие такую частоту со' в конечном состоянии, чтобы со/Т => == со'/Т' и, следовательно, da/T = dco'/T'. Тогда плотности лучистой энергии в этих состояниях будут связаны соотношениями
-4 = 4Г. (!16-7)
CO4
>'4 '
, da и®' dal
со4
(116.8)
Эти результаты составляют содержание так называемого закона смещения Вина в его наиболее общей форме. 3, Из формулы (116.8) получаем
, со4 da>' , , , П , (T' —Л
иа (со, Т) = -д — иа- (со', Г ) = _ Ub^t- со, Г j.
Это соотношение справедливо при любом значении температуры 7", а потому величина cnpa?a от T' не зависит. Величине T' можно придать любое значение, представив полученное соотношение в виде
нш(со, Г) = Г3_ (116.9)
где ф (со/7) — универсальная функция аргумента со'Т. Ввиду соотношения со/71 =5 со'/T', тот же результат можно записать в виде
