Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
§ 114. Формула Кирхгофа — Клаузиуса
Найдем теперь плотность энергии и удельную интенсивность равновесного излучения в прозрачной однородной изотропной среде с показателем преломления п. Такое излучение устанавливается § 114]
ФОРМУЛА КИРХГОФА - КЛАУЗИУСА
68s
в замкнутой полости, заполненной рассматриваемой средой, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре. В точности такое же излучение установится в среде и в том случае, когда она заполняет только часть полости. Предположим, что часть полости заполнена рассматриваемой средой, а в другой находится вакуум. Равновесное излучение как в среде, так и в вакууме совершенно не зависит от формы и свойств поверхности, вдоль которой среда граничит с вакуумом. Не меняя окончательного результата, можно принять, что эта граница плоская и гладкая.
Излучение в среде не зависит и от ее размеров. Поэтому среду можно считать настолько протяженной, чтобы при сколь угодно малом коэффициенте поглощения световой луч, вступивший в среду, успел полностью поглотиться, не достигнув стенок полости. Тогда обмен энергией между средой и вакуумом будет происходить только в результате отражения и преломления излучения на рассматриваемой границе. Такой обмен подчиняется принципу детального равновесия и не может нарушить состояние равновесия излучения как в среде, так и в вакууме. Из этого условия и можно найти соотношение между плотностью энергии и0 и удельной интенсивностью I0 излучения в вакууме с такими же величинами и и / в среде. (В этом параграфе все величины, относящиеся к вакууму, снабжены нулем в индексе, а все величины в среде оставлены без индекса.)
Ввиду выполнения принципа детального равновесия, рассуждение достаточно провести не для всего излучения, а только для произвольной части его, заполняющей интервал частот со, со -f dсо. Через единичную площадку границы раздела в единицу времени из вакуума в пределах телесного угла dQn падает лучистый поток Фх = = Ia dQ0 dco cos фо, где ф0 — угол падения (рис. 340). Согласно принципу детального равновесия, должен существовать такой же лучистый поток, распространяющийся в обратном направлении. Он состоит из двух потоков. Первый поток возникает в результате отражения потока Ф2 и равен (1 —Aa)Ia dQ0 dco cos ф0. Второй поток возникает в результате преломления потока Ф3, приходящего снизу из среды. Так как в силу формул Френеля коэффициенты отражения на границе раздела при прямом и обратном ходе лучей одинаковы, то второй поток будет AuiIa dQ dco cos ф, где ф — угол преломления, a dQ — телесный угол в среде, переходящий при преломлении в dQ0. Сокращая на dco, запишем условие детального равновесия 684. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ [ГЛ. X
в виде
(1 — Aa) I0a cos ф0 dQ0 + AaIa cos ф dQ = 1% cos ф0 dQ0, или 1
Ia cos ф dQ =4Ia cos ф0 dQ0.
В качестве dQ0 возьмем (не изображенный на рис. 340) телесный угол, заключенный между коническими поверхностями, образующие которых составляют с нормалью к границе раздела углы ф0 и ф0 + dffu, т. е. dQ0 = 2я sin ф0 d<p0. Аналогично, dQ = 2я sin ф гіф. Тогда
Ia cos ф sin ф dq> = Ia cos ф0 sin ф0 гіф0. В силу закона преломления sin ф^ = п sin ф, так что cos ф оРн ен>1
о„ J „РкЧсйгіи 0^cBC4Ott4SCHc? ечочФ3?2жачлоаВемчФае V
чВФвсазтсакгісВ еСЙЗЧ0.. л иа ьШаоО нлка .ою castas ани.^ § 115]
ЗАКОН СТЕФАНА — БОЛЬЦМАНА
685
что энергия равновесного излучения, локализованная в кубике с ребром, равным длине волны К, одинакова во всех изотропных недиспер-гирующих средах и определяется только температурой среды. Это утверждение относится также не только к полной плотности энергии, но и к ее монохроматическим составляющим.
§ 115, Закон Стефана — Больцмана
1. В XIX веке производились многочисленные исследования зависимости интегральной лучеиспускательной способности нагретых тел от температуры, т. е. величины, которая определяет суммарную энергию всех длин волн, излучаемых телами. Эти исследования приводили к противоречивым результатам. Основная причина расхождений была окончательно выяснена после установления закона Кирхгофа, так как излучение определяется не только температурой, но также составом тела и физическими свойствами излучающей поверхности. А на эту сторону дела в экспериментальных исследованиях не обращалось должного внимания. Из эмпирически установленных законов следует отметить только результат, найденный в 1879 г. Стефаном (1835—1898). Он нашел, что для черных тел из-лучательная способность пропорциональна четвертой степени температуры. Через пять лет Больцман получил этот результат теоретически из термодинамических соображений и показал, что он абсолютно верен для абсолютно черных тел. Этот результат, получивший название закона Стефана — Больцманй, был подтвержден последующими опытами по излучению абсолютно черного тела.
Вывод Больцмана и все последующие работы по теории теплового излучения существенно используют результаты Максвелла, предсказавшего и рассчитавшего давление света (см. т. II, § 61; т. III, § 145, а также задачу 2 к § 84 этого тома). Для изотропного излучения это давление равно = V3m, где м — интегральная плотность лучистой энергии. К такому выражению должна приводить всякая релятивистская теория света, независимо от того, является ли она корпускулярной или волновой. До теории относительности этот результат, разумеется, не был известен, а результаты Максвелла не считались общепризнанными. В частности, согласно нерелятивистской корпускулярной теории должно было бы быть = iIaU, как это предсказывает кинетическая теория газов (см. т. II, § 59). Поэтому опыты П. Н. Лебедева, впервые измерившего в 1900 г. световое давление, подтвердившие результаты Максвелла, имели основополагающее значение для всей термодинамики лучистой энергии.
