Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
иа {со. Г) = ©»/(!-). (116.10)
где / (ш/Т) == (TfIta')3 ф (©/7) — новая универсальная функция того же аргумента ш/Т. Тем самым определение универсальной функции иа (и, Т) двух аргументов сведено к задаче нахождения универ- § 116] ТЕОРЕМА И ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ ВИНА
691
сальной функции ср (со/Г) или / (со/Г) только одного аргумента со 'Г. Отсюда следует, что если известно спектральное распределение в равновесном излучении при какой-либо произвольной температуре T', то с помощью формулы (116.9) или (116.10) можно найти это распределение при всякой другой температуре Т.
В переменных А,, Г, как это следует из соотношения (112.2), формулам (116.9) и (116.10) можно придать вид
U1 = T^1(XT), (116.11)
UK = ^fifrT), (116.12)
где Cp1 (XT) и Z1 (XT) — новые универсальные функции. При фиксированной температуре Г величина ик становится функцией только длины волны X. Эта функция не может возрастать монотонно, а должна иметь максимум. В противном случае интегральная плотность излучения
со
" = S ("*)r =Const ^ (116.13)
О
не могла бы оставаться конечной. Длину волны в максимуме обозначим через Xm. Если ввести обозначение х = ХТ, то для определения положения максимума получится уравнение
dyJdX = T dtpjdx = 0, т. е. dq>]Jdx = 0.
Таким образом, при всех температурах максимум получается при одном и том же значении аргумента х. Отсюда следует, что при повышении температуры максимум функции «я, г = const смещается в сторону более коротких волной притом так, что выполняется соотношение
XmT = b = const. (116.14)
Измерения дают: Ъ = 0,2898 см-К. Этот результат, определяющий смещение максимума излучения при изменении температуры Т, называют законом Вина в его специальной форме. В точках максимума функции uh (T) и Uk' (T') относятся как пятые степени абсолютных температур Г и Г'.
Функция иа (со, Г) при постоянной температуре Г также обращается в максимум при какой-то частоте со =? сот. Частота озт не равна 2лсIXm, так как речь идет о максимумах различных функций (со) и Ui (X). При изменении температуры излучения положение максимума смещается, но при этом имеет место соотношение
-!jfr- = const, (116.15)
которое является другой формой закона смещения Вина (116.14). 692.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
4. Выведенный ранее закон Стефана — Больцмана является следствием общей формулы (116.9). Действительно, вводя обозначение X = о)/7\ из этой формулы при постоянной T находим
OO OO СО
и= J uada = T3 J ф (jr^da = Ti J ф (x)dx = aTi,
OO о
оэ
где a S= J ф (дг) dx — универсальная постоянная.
о *
§ 117. Формула Рэлея—Джинса
1. Результатами, изложенными в предыдущих параграфах, исчерпывается все, что могла дать феноменологическая термодинамика в проблеме теплового излучения. Ее оказалось недостаточно для решения основной - проблемы теории теплового излучения: определения функции «(О (ft), Т) ИЛИ функции /(О (со, Т), связанной с ней соотношением (112.6). Для этого оказалось необходимым привлечь статистические методы и учесть квантовые свойства вещества и излучения. Первая попытка теоретического решения указанной проблемы была предпринята в 1887 г. В. А. Михельсоном (1860— 1927). В то время, как показало последующее развитие физики, правильное решение рассматриваемой проблемы было, конечно, невозможно. Заслуга Михельсона состоит в том, что он привлек внимание физиков к одной из важнейших проблем, решение которой положило начало квантовой физики.
Общий метод теоретического определения функции Ua (со, Т) в рамках классической физики, не связанный с модельными представлениями, был указан в 1900 г. Рэлёем и через пять лет более подробно развит Джинсом (1877—1946). Рэлей и Джине применили к равновесному излучению в полости теорему классической статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме, в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия 1UkT, где k — 1,38-IO"16 эрг/К — постоянная Больцмана.
Если степень свободы колебательная, то надо учесть еще потенциальную энергию. В случае гармонических колебаний среднее значение потенциальной энергии равно также 1UkT (см. т. II, § 63). Таким образом, в состоянии статистического равновесия на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия, равная kT.
Эта теорема сводит задачу нахождения функции Ua (со, Т) к определению числа степеней свободы излучения в полости. Поскольку равновесное излучение в полости не зависит от ее формы и § 117] ФОРМУЛА РЭЛЕЯ - ДЖИНСА
693
материала стенок, можно предположить, что полость имеет форму куба с идеально отражающими стенками. А чтобы излучение в полости было равновесным, можно ввести в нее бесконечно малую черную пылинку, как это делалось в предыдущем параграфе при доказательстве теоремы Вина. '
2. Чтобы лучше уяснить метод определения числа степеней свободы, рассмотрим этот вопрос сначала не для векторного электромагнитного поля, а для скалярного волнового поля, например для продольных акустических волн. В такой постановке этот вопрос имеет и самостоятельный интерес, например в теории теплоемкости твердых тел Дебая. Волновое поле будем характеризовать какой-то функцией V (г, t), удовлетворяющей волновому уравнению
