Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Если теперь выражение (118.4) подставить в (118.2), то и полу-чиїся формула Планка
, tlCu3 1 , о
"со =--STTTSr—(118.6)
JX2сЗ еЯа/кТ — 1
Формулу Планка обычно пишут в переменных v, Ti
Ну '¦
а также в переменных Т:
U ¦ 1 Л1Я7)
8jxhc 1 /і і о оч --?77Тьт-• (118.8)
л № ehc/UT — 1
При низких частотах, когда
Па/kT^l, (118.9)
формула (118.6) переходит в формулу Рэлея—Джинса (117.8). В другом предельном случае высоких частот, когда
1,. (118.10)
получается формула
= (118.11)
К формуле такого вида в 1896 г. пришел Вин на основе некоторых произвольных допущений.
Для высоких частот (ультрафиолет) формула Вина прекрасно согласуется с опытом. Однако в области низких частот (инфракрасная область спектра) она дает совершенно неверные результаты, § И81
ФОРМУЛА ПЛАНКА
70t
здесь применима формула Рэлея — Джинса. Первоначально Планк и искал эмпирическую формулу, которая бы при низких частотах совпадала с формулой Рэлея — Джинса и непрерывно переходила в формулу Вина в области
УUi
высоких частот.
Если ввести безразмерную переменную X = ha/kT, то формулу (118.6) можно записать в виде
и„
k3T3
nVh2 ех— 1
(118.6а)
При введении другой безразмерной переменной X = = XkTIhc получится
SnkbTb \/хъ
J/x_
1
Графики функций
ех—\
и Ук~-
(118.8а)
\/хъ
0,5
/ r \\
і / / \\ \>
Со а: =3 S ftj I / \ \ X3
/1 \\ m ex- /
11 / /
/ / Il V
I I I 11 A \\
I I I Il \\
1,4
ф III
ill
і
I
S
Рис. 343.
Ьш
ТГ
ю
представлены на рис. 343 и 344. Пунктирные линии на тех же рисунках представляют те же функции, если их аппроксимировать по формулам Вина и Рэлея — Джинса-.
3. Пользуясь формулой Планка, уточним значения постоянных в законах Стефана — Больцмана (115.4) и Вина (116.14), а также (116.15). Очевидно, что эти законы должны быть следствиями формулы Планка, так как последняя является частным случаем общей термодинамической формулы Вина (116.9). Согласно формуле Планка, интегральная плотность энергии равновесного излучения в вакууме равна
со со
п P юз dtо __ P dx
^cS J ехр (Яы/кТ) — 1 ~~ Ji2c3fi3 J 1_<г*
о о
(введена безразмерная переменная интегрирования х = h&lkT). Разложив знаменатель 1 — е~х в ряд и интегрируя, получим для последнего интеграла
и = -
OO
J *»<г* (1 + (Г* + е-2* +...) dx = 6 (1 +1 + +.. •) =
15 * 702.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
так как по известной формуле сумма последнего ряда в скобках равна л;4/90. Таким образом,
15c3ft3 15 с3/г3 1 '
(118.12)
т. е. получается закон Стефана — Больцмана (115.4), в котором постоянная а выражена через одни только фундаментальные постоянные с, h и А,
?
го
!В 12
( \ \
/ \ I 1
\ I Y
I \ St 1 /X
- „ Г/х - ,
\
\\ \\ \
\\
O-AV^ С. UQ х% V \
ч\ \ 1X
ч\ \ Ч \ ч
J isS= '_—
.0,5
1,5
KkT
he
Рис. 344.
На практике более удобна формула для энергетической светимости S излучающей абсолютно черной поверхности. Это есть интегральный лучистый поток, излучаемый наружу во всех направлениях (т. е. в телесный угол 2я) единицей площади такой поверхности в единицу времени. Она связана с яркостью В излучающей поверхности соотношением S = лВ = я/ (см. § 22) или, ввиду формулы (112.5), S = си/4. (Эта формула вполне аналогична выражению для среднего числа молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу площади стенки сосуда, в который газ заключен, см. т. II, § 75.) Подставив сюда выражения (118.12), получим
S = OTif
где
O =
(118.13)
пЧ* 60сЩз
2я5/г* 15с2А3
= (5,67032±0,00071) • IO-8 Вт-Nra-K"4. (118.14)
Величина а называется постоянной Стефана — Больцмана. § 118]
ФОРМУЛА ПЛАНКА
703
4. Найдем теперь постоянную b в законе смещения Вина (116.14). Для этого надо найти значение X — Xm, для которого функция (118.8) при постоянном T обращается в максимум. Введем безразмерную переменную ? = hcIXkT и выразим через нее функцию (118 8). Тогда, как легко убедиться, задача сводится к отысканию минимума функции (е& — 1 )/?5. Приравняв нулю первую производную этой функции по ?, получим уравнение
е-Р + |-1=0, (118.15)
корень которого ? = 4,9651142. Поэтому
Ъ = XmT^hc/(??) = (2,897790± 0,000090)-IO-3 м-К. (118.16)
Если вместо X пользоваться частотой ю, то закон Вина надо писать в виде (116.15). Тогда положение максимума, как нетрудно убедиться, будет определяться уравнением
(3-?)e?_3 = 0, (118.17)
где ? = ЙсоIkT = heIKkT, т. е. ? имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае. Корень этого уравнения ?' = 2,8214393. Если снова перейти к длинам волн, то максимуму функции Ua соответствует длина волны Х'т, определяемая условием
XmT=* hc/(k$'). (118.18)
Таким образом, максимум на кривой частот сдвинут в длинноволновую сторону относительно максимума на кривой длин волн и притом так, что XmIXm = ?/?' (? 1,76.
