Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
2. Доказательство закона Стефана — Больцмана мы проведем методом циклов, так как таким путем попутно будут получены важные соотношения, используемые в дальнейшем. Допустим, что изотропное излучение произвольного спектрального состава зак- 698.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
лючено в адиабатическую оболочку с абсолютно зеркальными стенками. Произведем над ним адиабатический квазистатический процесс, при котором объем V, ограниченный оболочкой, меняется бесконечно медленно. Чтобы быть уверенным, что во время этого процесса излучение все время остается изотропным, можно взять оболочку сферической формы (в следующем параграфе будет показано, что эта предосторожность является лишней). Внутренняя энергия излучения в оболочке равна u.V. При увеличении объема оболочки на dV за счет этой энергии совершается работа & dV, так что оР dV = —d (uV). А так как для изотропного излучения Si = 1Z3U, то этому уравнению можно придать вид li3u dV + V du = = 0. Отсюда следует, что во время процесса
«У4/3 = const, (115.1)
или
<^1/4/3 =COnst. (115.2)
Это — уравнение адиабаты для изотропного излучения, совершенно аналогичное уравнению адиабаты Пуассона для идеального газа. Постоянная адиабаты равна у = iZs.
В силу эффекта Допплера при адиабатическом сжатии или расширении излучения должен меняться его спектральный состав. Допустим, например, что изотропное излучение занимает спектральный интервал to, со d(o. В результате отражения от движущейся стенки частота со и ширина интервала dtо изменятся и сделаются
равными со' и do)'. При этом будет J 2 выполняться соотношение
Ua da • V4'3 = и'*. da' • V'и* = const,
(115.3)
где V' и Urat' — объем и спектральная плотность энергии излучения частоты со' в конце процесса.
3. Докажем теперь закон Стефа-V на — Больцмана. Для этого произ-Рис. 341. ведем над черным излучением цикл
Карно. Допустим, что излучение заключено в цилиндре, боковые стенки и поршень которого идеально отражающие, а дно черное и может приводиться в тепловой контакт с нагревателем температуры T1 и холодильником температуры Тг. Излучение можно адиабатически изолировать с помощью идеально отражающей задвижки, вводимой сбоку для прикрытия черного дна цилиндра. В отсутствие задвижки, когда черное дно цилиндра приведено в тепловой контакт с нагревателем или холодильником, излучение в цилиндре, конечно, будет равновесным. Чтобы быть уверенным, что оно сохранится равновесным и во время адиабатического процесса, когда задвижка встав- § 116] теорема и закон смещения вина 687
лена, введем внутрь цилиндра черную пылинку, роль которой была выяснена в пункте 1 § 112. На изотерме /—2 (рис. 341) дно цилиндра контактирует с нагревателем. Количество тепла, переданное нагревателем на этой изотерме, равно
Qx = U1 (V2 - V1) + ^1 (V2 - V1) = 4 U1 (V2 - V1).
Количество тепла, отданное холодильнику на изотерме 3—4, Q2 = = tZ3UiiV3 — Vi). По теореме Карно
Q1 _ U1 (V2- V1) т\ Q2 U2(V3-Vi) T2-
На адиабатах 2—3 и 4—1 в силу (115.1) выполняются соотношения U^V2 = UltiV3, UltW1 = Urvi.
Отсюда
K3-K4 UJ ' а потому uJT\ = U1ZT11 = const. Следовательно,
и = аТ\ (115.4)
где а — универсальная постоянная. Но это есть иная форма закона Стефана — Больцмана.
Результат (115.4) можно получить короче, если к равновесному излучению применить общую термодинамическую формулу
ЛЙ-'Й-»' <»5-5>
Подставив сюда V = Vu (T), 3і = 1I3U (T), придем к тому же дифференциальному уравнению, интегрированием которого была получена формула (115.4). Однако мы не хотели пользоваться формулой (115.5).
§ 116. Теорема и закон смещения Вина
1. Важные результаты в термодинамике излучения были получены Вильгельмом Вином (1864—1928) в 1893—1894 гг. Вин доказал, что равновесное излучение, заключенное в оболочке с идеально отражающими стенками, будет оставаться равновесным при квазистатическом сжатии или расширении оболочки.
Для наших целей при доказательстве теоремы Вина достаточно ограничиться оболочкой сферической формы. В этом случае, ввиду сферической симметрии системы, отпадает необходимость специально доказывать, что в ходе процесса изотропия излучения все время сохраняется. Сожмем излучение квазистатически от начального объема V1 до конечного V2. При этом будет совершена работа про- 700.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
тив сил светового давления, и энергия излучения в оболочке увеличится. Спектральный состав излучения также изменится, из-за эффекта Допплера. Допустим, что в результате этого излучение перестанет быть равновесным. Введем внутрь оболочки в конечном состоянии бесконечно малую черную пылинку, поглощающую и излучающую свет. По истечении достаточно длительного времени она превратит неравновесное излучение в оболочке в равновесное. Это — необратимый процесс, идущий самопроизвольно. Обратный процесс превращения равновесного излучения в неравновесное, разумеется, сам собою идти не может.
Когда излучение внутри оболочки станет равновесным, не убирая пылинку, начнем бесконечно медленно адиабатически расширять оболочку, доведя объем излучения до исходного значения V1. После этого удалим пылинку. Энергия пылинки бесконечно мала, а потому ее наличие может сказаться на общей энергии излучения в полости также бесконечно мало. С другой стороны, давление изотропного излучения зависит только от интегральной плотности энергии излучения и, но не от его спектрального состава. Поэтому работа, которую совершит световое давление при расширении оболочки, будет с точностью до .бесконечно малой величины равна внешней работе, совершенной над излучением при его сжатии. Отсюда следует, что в результате сжатия и последующего расширения энергия, а с ней и температура излучения не изменятся.
