Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
gmBm = gnBn •
(119.3) 706.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
Так как спектральная плотность излучения и (со) не зависит от того, какие атомы использованы для ее вычисления, то для простоты расчета энергетические уровни Шп, Шт можно считать простыми. Тогда с учетом формулы Больцмана
из (119.1) получим
U(Umn) =-а(Уя)-, (119.4)
где a ((Omn) = Ah /Bn. Сравнение этого выражения с формулой Вина (116.10) показывает, что разность Шп — Шт должна быть линейной функцией частоты, т. е.
Шп — Шт = %а>тп. (119.5)
В предельном случае низких частот (или высоких температур)
и (®mJ =-SjT-•,
'""inn '
Но в этом случае применима формула Рэлея — Джинса, так что
a(comn)=^. (119.6)
Подставим теперь выражения (119.5) и (119.6) в формулу (119.4). При этом индексы тип можно опустить, так как в нашем выводе уровни энергии Шт и Шп можно взять произвольными. Тогда получится формула Планка (118.6).
Из универсальности функции (118.6) следует, что и постоянная П, введенная посредством соотношения (119.5), также универсальна. Формула (119.5), определяющая частоту излучаемого света при квантовых переходах между энергетическими уровнями, называется правилом частот Бора.
Заметим еще, что если бы не учитывать индуцированное излучение, т. е. положить В™ и (а>тп) = 0, то вместо формулы Планка получился бы ее предельный случай — формула Вина (118.11). Отсюда следует, что формула Планка с неизбежностью приводит к заключению о существовании индуцированного излучения. При низких температурах индуцированное излучение, очевидно, несущественно по сравнению со спонтанным. Вот почему в области низких температур, когда UalkT^ справедлива формула Вина. § 119]
СПОНТАННОЕ И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
707
ЗАДАЧ И
1. Определить среднее число фотонов п в единице объема полости, заполнен-¦ ной равновесным (черным) излучением, при температуре Т,
Ответ,
OO
"=iw J T^dx= ЖГ 1 + 2Ї + 33 + -J - !-202IP^r=20'573'
о
где T — температура в Кельвинах,
2. В полости с зеркальными стенками находится изотропное излучение с средней плотностью п фотонов в единице объема. Определить среднее число фотонов г, ежесекундно ударяющихся об единицу площади стенки.
Ответ, z = -^-tic.
3. Решить предыдущую задачу в предположении, что излучение равновесное, а температура стенок полости равна Т. Какое среднее число фотонов N будет выходить ежесекундно из полости через отверстие в стенке полости площадью S = 1 см2, если T = 1000 К?
ьзтз ьзтз
Ответ, „=«2,404 JV = Ol6J^5-Il5-IO2O.
4. В какой области спектра равновесного (черного) излучения при температуре T = 300 К интенсивность индуцированного излучения превосходит интенсивность спонтанного?
Ответ. Если X Э; hc!(kT In 2), то интенсивность индуцированного излучения становится равной или большей интенсивности спонтанного. При T = = 300 К. получаем X 5= 692 мкм.
5. При какой температуре равновесного (черного) излучения индуцированное излучение в видимой области (X = 550 нм) превосходит спонтанное?
Ответ. T > hd(k% In 2) 3,8- IO4 К.
6. Среднее число фотонов в единице объема равновесного (черного) излучения, приходящееся на интервал частот (со, со + dco) или на соответствующий ему интервал длин волн (X, X + dl), можно представить в виде dN = / (со, Т) da> = = ф (X, Т) dk, где T — температура излучения. Найти положение максимумов функций / (со, Т) и ф (X, Т) при фиксированной температуре Т,
Ответ, Для функции / (со, Т) максимум получается при ha>/(kT) — х, где X — корень уравнения (х — 2) ех + 2 = 0, т, е, х = 1,593624. Соответствующая длина волны X1 находится из соотношения
к{Г = = = 0,902867 см • К.
Для функции ф (X, Т) максимум получается при Я = X2, причем ^yr = Ъ
где I — корень уравнения (I — 4) ?5 + 4 = 0, т. е, § = 3,920690, Таким образом, XiT = 0,368967 см-К. Следовательно, X2 < X1.
7. Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной (абсолютной) температуре Т, Вычислить флуктуации энергии Щ такого излучения в объеме V в спектральном интервале (со, со + dco), пользуясь формулами 1) Вина, 2) Рэлея —Джинса, 3) Планка, и интерпретировать полученные результаты с точки зрения корпускулярных и волновых представлений о свете. 708.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
Решение. Применяя к (97,15) формулы Вина, Рэлея — Джинса и Планка, получим
Af2 = ^cj (Вин), (119.7)
ДІ* = І?Г= T7^-I2 (Рэлей—Джине), ' (119.8)
V Wad)
№ = + (Планк). (119.9)
Формула (119.7) имеет такой же вид, что и формула (97.7) для флуктуации числа частиц идеального газа. Ее можно было бы получить из корпускулярных представлений, рассматривая излучение как газ независимых частиц. Напротив, формула (119.8) соответствует волновым представлениям о свете. Здесь флуктуации возникают из-за суперпозиции волн различных частот. Формула (119.9) соответствует синтезу обоих представлений.
8. Освещенность Е, создаваемая звездой первой 'величины на поверхности Земли при нормальном падении света, составляет оксло І0~в лк. Можно ли объяснить мерцание звезд квантовыми флуктуациями свега?
