Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Заметим еще, что, измерив на опыте величины с, а и Ь, можно по формулам (118.14) и (118.16) вычислить универсальные постоянные k и h, что и было впервые сделано Планком. После этого можно найти число Авогадро [N = Rlk и элементарный заряд е — FIN, где R — универсальная газовая постоянная, a F — число Фарадея. К<эгда Планк производил эти вычисления, величины k, N и е были известны с малой точностью. Планк получил для них, а также для постоянной h значения, мало отличающиеся от современных.
5. Формулу Планка можно также получить, рассматривая равновесное излучение в полости как фотонный газ, к которому применима статистика Бозе — Эйнштейна (см. т. II, § 82). Особенность этого газа состоит в том, что в результате взаимодействия с веществом фотоны могут рождаться и уничтожаться. Число их M в полости не остается постоянным. При равновесии оно устанавливается таким, что свободная энергия F (Т, V, N) при заданных T и V обращается в минимум, а потому dFJdN = 0. Но dF/dN есть химический потенциал у, газа. Таким образом, для фотонов должно 704.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
быть (X = 0. Поэтому общая формула Бозе — Эйнштейна
Я/= „у ' . (118.19)
exP K&i — у) IkT] — 1
определяющая среднее число частиц в і-м квантовом состоянии, в случае фотонов переходит в формулу
« = (118-20)
Число квантовых состояний в интервале частот (со, со + dco) определяется выражением (117.7). Умножив п на это число, на энергию фотона ft со и разделив на объем полости V, получим формулу Планка (118.6).
§ 119, Спонтанное и индуцированное излучение
1. В 1916 г. Эйнштейн дал новый вывод формулы Планка, основанный на представлениях Бора о механизме излучения. В этой работе было введено понятие индуцированного излучения — явления, на котором основан принцип действия лазера.
Пусть S1, S2, S3, ... — значения энергии, которые может принимать атом или вообще любая атомная система. Атом может самопроизвольно перейти из высшего энергетического состояния Sn в низшее Sm с испусканием света. Такое излучение называется спонтанным. Если атом находится в световом поле, то последнее может вызывать переходы как с высшего уровня Sn на низший Sm, так и обратно с низшего Sm на высший Sn. -Первые переходы сопровождаются излучением света. Оно и называется индуцированным (вынужденным) излучением. Обратные переходы сопровождаются поглощением света атомом.
Имеются аналоги описанных явлений и в классической физике. Если атом рассматривать как колебательную систему, то в поле световой волны она будет совершать вынужденные колебания. В зависимости от соотношения фаз между колебаниями этой системы и светового поля амплитуда колебаний атома может как увеличиваться (поглощение света), так и уменьшаться (вынужденное излучение).
Эйнштейн применил к описанию процессов спонтанного и вынужденного излучения вероятностные методы. При этом для проблемы равновесного излучения не имеет значения, присуща ли вероятность ансамблю физических объектов или самим элементарным законам, управляющим их поведением.
Рассмотрим теперь много одинаковых атомов в световом поле. Последнее будем предполагать изотропным и неполяризованным. Тогда отпадает вопрос о зависимости коэффициентов, вводимых § 119] спонтанное и индуцированное излучение 705
ниже, от поляризации и направления излучения. Пусть Nm и Nn — числа атомов в состояниях Sm и Sn, причем состояния Sm и Sn могут быть взяты какими угодно из ряда допустимых состояний S1, S2, S3, ... Среднее число переходов атомов из состояния Sn в состояние Sm в единицу времени из-за спонтанного излучения будет пропорционально исходному числу атомов Nn. Представим его в виде AnNn. Эйнштейн постулировал, что из-за индуцированного излучения среднее число переходов между теми же уровнями будет по-прежнему пропорционально Nn, а также спектральной плотности излучения и (COmn) при частоте испускаемого света, соответствующей рассматриваемому переходу. Обозначим это число через BrHNnU (<отп). Аналогично, среднее число переходов с |уровня Sm на уровень Sn из-за поглощения света представится как Bm Nm и (сотп). Величины А п, Bn, Bnm называются коэффициентами Эйнштейна. Они являются характеристиками только самого атома и могут зависеть лишь от частоты сотп.
2. Допустим теперь, что поле излучения, в котором находятся атомы, равновесное и имеет температуру Т. Тогда имеет место детальное равновесие, а потому
AtNn +B1ZNnU ((Omn) = BnmNmU ((Omn). (119.1)
Если уровни энергии Sm и Sn простые, а не кратные, то коэффициенты Эйнштейна связаны соотношением
Bm = Bn- (119.2)
Действительно, будем повышать температуру системы. Коэффициенты Эйнштейна при этом меняться не будут, так как они от температуры не зависят. Спонтанное же излучение будет играть все меньшую и меньшую роль по сравнению с индуцированным. Если им пренебречь, то условие детального равновесия примет BHfltBnNn = BmNm. Но, согласно формуле Больцмана, при T-*- оо населенности уровней Nn и Nm должны сравняться. Отсюда и следует, что Bnm = В™
Допустим теперь, что уровень Sm состоит из gm, а уровень Sn — из gn слившихся простых энергетических подуровней. Такие уровни называются кратными, а целые числа gm и gn — их кратностями. Вероятность перехода атома с уровня Sm на каждый простой подуровень Sn меньше вероятности перехода на кратный уровень Sn в gn раз, т. е. она равна uBnmlgn. Аналогично, вероятность перехода с уровня Sn на простой подуровень Sm будет UBnIgm• Но по доказанному эти вероятности равны между собой. Поэтому для кратных уровней соотношение (119.2) заменится на BnmIgn — BtJlIgm или
