Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
dZ = —со2 dco, (117.7)
JX2C3 х '
На каждую Стоячую волну в состоянии статистического равновесия приходится в среднем энергия Ш = kT\ одна половина ее — электрическая, другая — магнитная. Записав энергию равновесного излучения в полости в спектральном интервале dco в виде Vwm dco, из формулы (117.7) получим
со2 -S kT 696.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
[ГЛ. X
Этот результат известен под названием формулы Рэлея — Джинса, хотя он независимо и практически одновременно с Рэлеем был получен также Планком из столь же общих, но несколько других соображений (см. пункт 6).
4. Прежде чем обсуждать формулу Рэлея — Джинса, заметим, что в случае полости, заполненной изотропной средой, число стоячих волн будет определяться прежними формулами (117.5) и (117.6), если только в них величину с заменить скоростью света v в рассматриваемой среде (предполагается, что среда изотропная). Отсюда следует, что числа ZndZh одном и том же интервале частоты, а с ними и функция ию пропорциональны c3/v3, т. е. кубу показателя преломления среды п. Но это есть закон Кирхгофа — Клаузиуса, доказанный в § 114. Вывод справедлив при более общих предположениях, чем это сделано в тексте. Нет необходимости ссылаться на классическую теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Достаточно, чтобы средняя энергия гармонического осциллятора была функцией только частоты со, как это имеет место в квантовой теории.
5. Формула Рэлея — Джинса согласуется с общей термодинамической формулой Вина (116.9) или (116.10). Более того, вид этой формулы может быть непосредственно установлен на основе одной только формулы Вина, если ограничиться предельным случаем низких частот. Для этого заметим, что в формуле (416.10) функция / (соIT) должна быть возрастающей функцией температуры T и обращаться в нуль при T = 0. Ее удобнее рассматривать как функцию аргумента Tl со и разложить в ряд по степеням этого аргумента; Если ограничиться первым членом, этого ряда, то получится
Но по своему виду этот результат совпадает с формулой (117.8). Только коэффициент С остается неопределенным. Зато формула (117.9) выведена в более общих предположениях, чем (117.8). Таким образом, в 'предельном случае низких частот нет сомнений в правильности вида формулы (117.9). И действительно, для достаточно длинных волн (точный критерий приводится в следующем параграфе) формула Рэлея — Джинса прекрасно согласуется с опытом. Она с успехом применяется в длинноволновой инфракрасной области спектра и в радиодиапазоне.
Но классическая статистика требует, чтобы формула Рэлея — Джинса (117.8) была верна при любых частотах. Однако это невозможно, так как тогда для интегральной плотности энергии получилось бы бесконечнее значение:
Ua (со, Т) = CTco2.
(117.9)
OO
j co2o!co = oo,
и § 117]
ФОРМУЛА РЭЛЕЯ - ДЖИНСА
697
Отсюда следует, что по теории Рэлея — Джинса тепловое равновесие между веществом и излучением невозможно. Этот вывод противоречит опыту. П. С. Эренфест назвал его ультрафиолетовой катастрофой. Причина ультрафиолетовой катастрофы заключается в том, что в теории Рэлея — Джинса излучение в полости имеет бесконечное, а вещество конечное число степеней свободы. Поэтому, если бы было справедливо равномерное распределение энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна была бы сосредоточиться в излучении.
6. Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно. В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805—1865). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным, но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая из-вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона.
Поэтому было бы непонятно, почему теорема о равномерном распределении энергии справедлива для одних и не имеет места для других степеней свободы.
Кроме того, к формуле Рэлея — Джинса независимо пришел также Планк, применивший эту теорему только к вещгству, но не к излучению. Он провел рассуждение для одномерного гармонического осциллятора, например, квазиупруго связанного электрона, помещенного в полость с равновесным излучением. Под действием хаотически меняющегося электромагнитного поля излучения осцил-. лятор будет совершать колебания с хаотически меняющимися амплитудами и фазами, излучая и поглощая при этом электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет совершать беспорядочные флуктуации вокруг среднего значения Ш. В результате идейно-простых, но несколько длинных вычислений Планк пришел к формуле
(117.10)
Если в этой формуле применить к осциллятору (веществої) теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, то получится формула Рэлея — Джинса. 698.
