Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Гг
Ep=Sj А(г)е~и<>-dr, (43.12)
Гі
где введено обозначение
= (43.13)
а через T1 и гг обозначены наибольшее и наименьшее значения, принимаемые г. Интегрируя (43.12) по частям, получим
Е А(г)е
r-ikr
-P- ik
г 1
Здесь единственной величиной, зависящей от г, является cos а, Найдем ее производную. Из рис, 172 (р + A0)2 = /-2+ r\ + 2/т-о cos а, откуда dc<fa = ^f JL +
dr \г0
і cos а \
*т -——j. Взяв от (43.13) логарифмическую производную по г и воспользовавшись
предыдущей формулой, найдем
XdA і /1 , cos а \ . . ,
А (г).
ik dr 1+cosa \kr0 kr
Такой величиной, а следовательно, и интегралом в формуле (43.14) следует пре< небречь, так как это уже было сделано при выводе исходной формулы (43,9), ±аким образом, в формуле (43.14) остается только первое слагаемое, т, е,
Ер= Mrje-^-Ajrje-^ ^ (4315J
Существенно, что величина Ep представляется разностью одной и той же функции,, но при различных значениях аргумента T1 причем при изменении г на Я/2 знан 292
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[гл. iv
этой функции меняется на противоположный. Этого достаточно для обоснования основного результата (39.6), на котором основан метод зон Френеля. Действительно, применив формулу (43.15) к первой зоне Френеля, найдем, что действие 8той зоны может быть представлено в виде E1 = (U1 + и2), действие второй зоны— в виде E2 = —(и2 + ич), и т. д, Явный вид выражений щ для доказательства не имеет значения. Действие первых N зон выразится суммой
? = («! + "¦) — («.+ «8) +-.. + (—+ 1 («ДГ + «JV+l),
т. е
? = «i + (-l)w + 1%+1.
Так как по величине действия двух соседних зон почти одинаковы, то uN+1 = ик,
С той же степенью точности 1I2E1 = U1, 1I2En = (—l)N+1uv = (—i)N+1uN4l, Следовательно,
§ 44. Дифракция Фраунгофера на щели
1. Дифракционные явления Фраунгофера имеют в оптике значительно большее практическое значение, чем дифракционные явления Френеля. При практическом осуществлении дифракции Фраунгофера источник света 5 помещается в фокусе линзы (рис. 173).
(Линза L1 не нужна, если источником света служит лазер, поскольку от него исходит уже параллельный пучок света.) Дифракция возникает на каком-либо препятствии AB, поставленном на пути световых лучей, прошедших через линзу L1. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости другой линзы L2. Ее можно также наблюдать в зрительную трубу, установленную на бесконечность. Но в теоретических рассуждениях удобнее от всех этих вспомогательных приспособлений отвлечься, предполагая, что на препятствие AB падает параллельный пучок лучей, а дифракция наблюдается «в бесконечности».
Простейшим для расчета и практически очень важным случаем является фраунгоферова дифракция на длинной прямоугольной щели. Ширину щели обозначим через Ъ, ее длину будем считать бесконечной. Пусть на щель нормально падает плоская монохроматическая волна (рис. 174). Световое поле за щелью найдется по принципу Гюйгенса как результат интерференции когерентных вторичных волн, исходящих из различных точек волнового фронта на щели.
ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ЩЕЛИ
293
Вторичные волны, излучаемые полоской волнового фронта ширины dx, параллельной щели, складываясь, дают цилиндрическую волну, осью которой является эта полоска. Зависимость этой волны от направления ее распространения, определяемого углом можно не учитывать, так как задача решается методом Френеля, а потому угол дифракции Ф должен предполагаться малым. Однако необходимо учесть разности фаз между волнами, исходящими из различных полосок. Разумеется, речь идет о фазах колебаний на бесконечном расстоянии от щели. Волна, исходящая из dx под углом опережает по фазе волну того же направления, исходящую из середины щели О, на kx sin Ф. Поэтому
результирующее поле в бесконечности, создаваемое всей щелью, представится интегралом
+ Ы 2
E = $ eikx sin ^ dx.
— ft/2 •
Здесь опущены все множители, не влияющие на относительное распределение волнового поля по направлениям. Вычислив интеграл, получим
Рис. 174.
Е = Ь-
(44.1)
где введено обозначение
а ¦¦
kb sin лЬ sin o
(44.2)
Отсюда для распределения интенсивности света по направлениям найдем
/ = /о(^)2, (44.3)
где I0 — интенсивность в направлении падающей волны. На рис. 175
представлены графики функций
(пунктирная кривая) и
(сплошная кривая). Обе функции обращаются в максимум,
равный единице, при а = 0. При а = тл, где т = ±1, ±2, ..., они равны нулю, т. е. в этих точках наблюдаются минимумы интенсивности. Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы различных порядков. Их положения определяются трансцендентным уравнением a cos а — sin а = 0. Практически 294
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
можно считать, что максимумы располагаются посередине между соседними минимумами.
2. Условие минимума а = тл можно также записать в виде
ft sin G =/я*,. (44.4)
Оно означает, что разность хода между волнами, исходящими от крайних точек щели, должна содержать целое число волн. Этот результат легко уяснить без всяких вычислений. Допустим сначала, что ft sin d = К. Разобьем щель на две части одинаковой ширины.
