Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
297
чится. Таким образом, условие исчезновения дифракционных полос от протяженного источника рассматриваемой формы будет
б Q = Ifb. (44.8)
От угловых размеров б© источника легко перейти к его линейным поперечным размерам б/. Если источник помещен в главном фокусе коллиматорной линзы с фокусным расстоянием /, то б/ = / 60, т. е.
б/ =/А. (44.9)
6. Когда ширина щели становится меньше или порядка длины волны, приближенный метод Френеля, которым мы пользовались выше, становится неприменимым. Тогда волновое поле в плоскосш щели уже нельзя отождествлять с неискаженным полем падающей волны, как это делается в методе Френеля. Задачу ладо решать математически строго с использованием уравнений Максвелла и соответствующих им граничных условий.
Впервые такой метод был осуществлен в 1896 г. Зоммерфельдом (1868—1951) в задаче о дифракции плоской волны на прямолинейном крае экрана. Зоммерфельд рассмотрел идеально проводящий (а потому непрозрачный) экран, толщина которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной волны. Хотя в оптике такой случай и невозможно осуществить, решение Зоммерфельда имеет большое значение, так как оно позволяет судить о точности и границах применимости приближенных методов. В 1897 г. Рэлей решил задачу о дифракции на узкой щели (b А,) в бесконечно тонком идеально проводящем экране. В курсе общей физики нет возможности приводить эти решения 1J. Сравним только их результаты с тем, что дает простой метод Френеля, чтобы составить более конкретное представление о границах применимости этого метода.
Предположим, что электрический вектор падающей волны параллелен щели. Как показывает строгий расчет, ход амплитуды дифрагированной волны качественно сохраняется, но выражается через функции Бесселя. Амплитудная кривая с ростом G спадает круче прежней функции (sin а)/а. В максимуме значение амплитуды в 4К/(Ьл2) раз меньше значения, определяемого формулой (44.1). Так, при Ь = 1Z10K амплитуда уменьшается в четыре раза 2). Расхождение с приближенной теорией уменьшается при дальнейшем увеличении Ь.
Численные расчеты, выполненные Морзе и Рубинштейном (1938), показали, что при ширине щели около К или больше результаты,
х) Интересующихся отсылаем к книге: А. Зоммерфельд. Оптика. ИЛ, Москва, 1953.
2) Если электрический вектор падающей волны перпендикулярен к длине Щс^и, то амплитуда уменьшается слабее. Это легко понять, обратившись к соответствующему опыту Герца с проволочной решеткой (см, т. Ill, § 142, пункт 7), 298
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
полученные по приближенному методу Френеля, могут считаться достаточно удовлетворительными. Таким образом, даже в случае наиболее тонких современных дифракционных решеток (при щелях порядка 1000—2000 нм) приближенней метод Френеля не ведет еще к заметным ошибкам.
§ 45. Дифракция Фраунгофера на отверстиях
1. Допустим, что свет падает перпендикулярно к плоскости непрозрачного экрана с отверстиями. (Обобщение на случай наклонного падений не встречает никаких затруднений.) Координатную плоскость XY совместим с плоскостью экрана, через dF обозначим элемент площади в этой плоскости. Направление дифрагированного света будем характеризовать единичным вектором s (рис. 178). Разность хода между лучами, вышедшими в этом направлении из элемента площади dF и из начала координат О, т. е. длина отрезка
OA, равна (rs), где г (х, у) — радиус-вектор элемента dF. Соответствующая разность фаз будет k (rs). Результирующее поле в фраунгоферовой дифракционной картине представится интегралом
E = \elk WdF, (45.1)
распространенным по всем отверстиям.
В случае прямоугольного отверстия удобно перейти к прямоугольным координатам, предполагая, что координатные оси параллельны сторонам отверстия. Если а и b — длины этих сторон, то
+ 0/2 + Ь/2
E= ] I eCk (sA* +У) dxdy. (45.2)
— a/2 — b/2
Это — в точности такие же интегралы, которые встречались нам при рассмотрении дифракции на щели. Выполнив интегрирование, получим
где .
1 Iiasx 1 Jibsll
a=Ykas* = ~> ? ~Tkbsy-—-. (45.4)
Заменив в одном из интегралов пределы интегрирования бесконечными, получим предельный случай бесконечно длинной щели. § 45]
дифракция фраунгофера на отверстиях
299
Интенсивность определяется формулой
^sina\2 {sin ?'\2
/==/ о
?
(45.5)
Дифракционную картину можно получить, если наложить друг на друга две взаимно перпендикулярные дифракционные картины, одна из которых получена при дифракции на щели ширины а, а другая — на щели ширины Ь (рис. 179). Картина вытянута в направлении более короткой стороны прямоугольного отверстия.
Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес, так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму. В этом случае при вычислении интеграла (45.1) естественно перейти к
Рис. 179.
Рис. 180,
полярным координатам. При малых углах дифракции интеграл выражается через бесселеву функцию первого порядка J1 (а), где a = kR$ = 2nRft/X (R — радиус отверстия,. Ф — угол дифракции). Опуская вычисления, приведем окончательные результаты. Дифракционная картина, естественно, имеет вид концентрических светлых и темных колец (рис. 180). Центр картины светлый, так как в него все вторичные волны приходят в одинаковых фазах. Распределение амплитуд (пунктирная кривая) и интенсивностей (сплошная кривая) в зависимости от угла дифракции О (или, что то же, расстояния от центра картины) приведено на рис. 181. Соответствующие кривые мало отличаются от кривых рис. 175 не только качественно, но и коли- 300 _ дифракция света [гл. ivjs
