Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
e~ikr дЕ г дп
]dF,
(43.5)
где Ep — значение функции E в точке Р,
2. Формула (43.5) по виду напоминает принцип Гюйгенса — Френеля. И тут и там поле в точке P выражается интегралом по замкнутой поверхности F. Однако у Френеля источники света лежат внутри замкнутой поверхности F, а точка P вне этой поверхности. Формула же (43.5), наоборот, предполагает, что точка P лежит внутри поверхности Ft а источники вне ее. Легко, однако, преобразовать формулу (43.5), чтобы указанное различие исчезло. Для этого предположим, что все источники света S1, S2, S4, ,.. лежат в конечной области пространства. Окружим эту область замкнутой поверхностью F (рис. 171). Пусть точка P находится в пространстве вне поверхности F. Опишем из P как из центра сферу і настолько большого радиуса, чтобы она целиком окружала поверхность F. Тогда в пространстве между / и F не будет источников света, а потому можно для вычисления E в точке P применить 4^рмулу (43.5):
F + f
Ldn %
д_Е дп
dF.
Рис. 171.
Докажем, что интеграл по сфере f стремится к нулю, когда ее радиус стремится к бесконезно-сти. Для этого необходимо выяснить поведение
фунйции E на бесконечности, Предположим, что в пространстве, ограниченном ft находится один или несколько точечных источников света: S1, S2, S3, ,., Тогда поле этих источников представится в виде
где Cm — постоянные коэффициенты. Если г стремится к оо, то гт также стремится к оо, однако разность гт — г будет оставаться конечной, Представим В в виде
— ik(r + am\ —ikr
r-Xr е -е V a^
b-Zim" r+am / LT-
I +aJr »
где am — новые постоянные, Разлагая выражение под знаком суммы в ряд по степеням 1 Ir, получим
е-9T1 {2А>-т 2А'та>»¦+1у+¦¦ 1•
ели
?=1^(С+Ф)=(С+Ф)х, 290
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. Itf
где С — постоянная, а Ф стремится к нулю по крайней мере как 1 Ir. Подставляя это значение E в интеграл по сфере f, получим
'S*
Подынтегральное выражение в последнем интеграле стремится к нулю по крайней мере как Xlr3, тогда как поверхность сферы обращается в бесконечность как г2. Поэтому при г-*- оо весь интеграл стремится к нулю. Таким образом, если сферу / удалить в бесконечность, то получится
(43.6)
Эти рассуждения приводят также к следующему важному результату. Если некоторый участок поверхности F удаляется в бесконечность, то часть Интеграла (43.6) по этому участку стремится к нулю. При этом предполагается, что все источники света находятся в конечной области пространства.
3. Формулы (43.5) и (43.6) и выражают принцип Гюйгенса в формулировке Кирхгофа. В обеих формулах п означает внутреннюю нормаль по отношению к тому пространству, в котором находится точка наблюдения Р.
Выполнив дифференцирование по я и приняв во внимание, что дг/дп = = —cos а, где а — угол между нормалью п и направлением из площадки dF на точку Р, получим
K(a,r)~dF. (43.7)
Здесь введено обозначение
К (а, г) --
(43.8)
Тем самым установлена связь формулы Кирхгофа с принципом Гюйгенса: подынтегральное выражение в формуле (43.8) может рассматриваться как вторичная волна, распространяющаяся от площадки dF к точке Р. Множитель К, однако, зависит не только от угла а, как предполагал Френель,, но также и от расстояния г. В противном случае вторичная волна не могла бы удовлетворять волновому уравнению. Таким образом, вторичные волны не обладают шаровой симметрией. Они сферические только в том смысле, что их волновые фронты имеют форму сфер. Амплитуды же зависят от направления распространения и меняются с расстоянием иначе, 4ем Xlr. Только в «волновой зоне», когда расстояние точки P от излучающего центра dF очень велико по сравнению с длиной волны, можно в выражении (43.8) пренебречь Xlr по сравнению с ik. Тогда
Ep = ^ Cosa-dH)6^: dF, (43.9)
Рис. 172,
дп
Благодаря малости длин световых волн такой упрощенной формой принципа Гюйгенса в оптике можно пользоваться при решении всех конкретных задач.
4. Чтобы составить на примере более конкретное представление о вторичных волнах1 рассмотрим свободное распространение сферической волны от то- '§ 43] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА В ФОРМУЛИРОВКЕ КИРХГОФА 29I
«іечного источника. В качестве поверхности F возьмем сферу радиуса г0 с центром в источнике О (рис, 172). Поле на поверхности F представим выражением
і [at — fcr0)
Предполагая, что радиус г0 очень велик по сравнению с длиной волны, отсюда найдем дЕ/дп, = дЕ01дг0 = —ikE0¦ Подставляя это значение в формулу (43.9), получим
ih P p-ikr
Ep = ^L fo(\+cosa) E0-j-dF, (43.10)
Сравнение этой формулы с формулой (43.7) дает
К(а)=~( 1+cosa). (43.11)
Это и есть «ослабляющий множитель» К (а), введенный в § 39 ad hoc. Из теории автоматически получается, что он чисто мнимый и с возрастанием а монотонно убывает по абсолютной величине. Он обращается в нуль при а = л, т, е. в точке D сферы, диаметрально противоположной точке наблюдения Р,
Интеграл (43.10) теперь можно вычислить, поскольку он не содержит никаких неизвестных функций. Произведем это вычисление, так как таким путем можно получить строгое обоснование метода зон Френеля и результатов, полученных этим методом. Взяв за переменную интегрирования г и использовав значение E0, преобразуем интеграл (43.10) к виду
