Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
EP = \\e-lk^ + ij!)'{2b) dx dy.
Интегрирование должно быть выполнено по всей открытой поверхности волнового фронта. Допустим, что в направлении оси Y она простирается достаточно далеко в обе стороны. Тогда интегрирование по у можно выполнить в пределах от — со до + оо, в результате чего появится постоянный множитель, не представляющий интереса. Интегрирование по х произведем от нуля, считая верхний предел X переменным (он может быть и положительным, и отрицательным). Вместо X, как это принято, введем новую переменную s по формуле kx2!b = ns2. Тогда
S
Ep = Ie-i^2'2 ds, (42.4)
о
S 1
Е*Р = \е1™212 ds. (42.5)
о
При изображении колебаний можно пользоваться как выражением (42.4), так и комплексно сопряженным с ним (42.5).- При построении спирали Корню обычно применяют выражение (42.5). Оно и представляет уравнение спирали Корню в комплексной форме. Если координатные оси выбраны так, как указано на рис. 166, то в прямоугольных координатах уравнение спирали Корню ЗОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ
285
запишется в виде
S
X
(S) = \ cos (f\ ds, Y (S) = f sin (f) ds. (42.6)
о о
Входящие сюда интегралы называются интегралами Френеля. Очевидно,
X(s) = -X{-s), Y(s) = -Y(-s),
т. е. кривая (42.6) симметрична относительно начала координат. Полагая s = оо, находим координаты фокусов спирали Корню:
Xp=Yp=1Z2, Xp' = Yp' = —1Z2.
Впрочем, для многих целей проще пользоваться непосредственно комплексной формой (42.5). В частности, для дифференциала духи спирали Корню из (42,5) находим: ! ei7ls2/2 ds | = | ds \. Отсюда следует, что параметр s есть длина дуги спирали, отсчитываемая от начала координат О.
Если т — угол между касательной к спирали Корню и осью X, то tg т = dYldX = tg (ns2/2), а потому
т = ns2/2. (42.7)
При s = O угол т = 0, т. е. в начале координат кривая касается оси X. При S = 1 касательная вертикальна и идет вверх. При S = У2, т = п касательная снова горизонтальна, но идет в отрицательном направлении оси X. При s = ]/3, т = 3Z2л она вертикальна и идет вниз. При S = 2, т = 2я касательная принимает исходное — горизонтальное — направление. Формула (42.7) позволяет наглядно проследить, как кривая обвивается вокруг фокусов F и F', делая при этом бесконечное число оборотов. Эта формула особенно полезна в том отношении, что она позволяет по заданному параметру s легко находить соответствующую точку на спирали Корню.
Из формулы (42.7) получаем формулу для кривизны спирали Корню:
= (42.8)
Длина всей спирали Корню бесконечна, а потому при приближении к фокусам ее кривизна стремится к бесконечности.
3. При работе со спиралью Корню надо знать значение параметра s. Его легко найти, зная на экране расстояние х точки наблюдения от центра картины О (рис. 165). Вычислив ширину первой зоны Шустера , находим далее s = x |/2/(?*/;) ¦
Рассмотрим в качестве примера дифракционную картину от прямолинейного края экрана (рис. 167). Где бы ни находилась точка наблюдения Р, для нее всегда будет открыт правый край волнового 286
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
фронта. На векторной диаграмме (рис. 166) колебание в точке наблюдения представится вектором MJ7, конечная точка которого всегда находится в верхнем фокусе F, а начальная Mn лежит где-то на спирали Корню. Если, сохраняя неизменным положение конечной точки F, перемещать начальную точку Mn вдоль спирали Корню (положения M1, M2, Mg, ...), то таким путем можно получить распределение амплитуд и интенсивности колебаний света по всему экрану.
Обозначим через а0 = | FF' | и I0 = Go амплитуду и интенсивность волны, когда открыт весь волновой фронт. Когда точка наблюдения P находится на границе геометрической тени, то колебание представится вектором OF = 1I2FrF. Ему соответствует амплитуда 1I2Ci0 и интенсивность 1I1I0. При перемещении точки P в освещенную область экрана изображающая точка Mn начнет перемещаться по нижней ветви спирали Корню, а амплитуда и интенсивность колебаний будут последовательно проходить через максимумы и минимумы. Максимальная амплитуда, как видно из рис. 166, составляет 1,12 а0, а интенсивность 1,25/0. Минимальные значения
О
Рис.
P
X
167,
iIIHHb ,*>\ Ь-
Hkfi ¦t - • и
Рис, 168,
Рис. 169,
их соответственно 0,89ао и 0,7810. При дальнейшем продвижении в освещенную область интенсивность асимптотически приближается к I0. При погружении точки P в область геометрической тени изображающая точка Mn перемещается по верхней ветви спирали Корню. При этом по мере погружения в указанную область интенсивность света монотонно убывает и асимптотически стремится к нулю. ЗОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ
287
Распределение интенсивности графически представлено на рис. 167. Таким образом, нет резкой границы между светом и тенью! в области геометрической тени интенсивность света убывает непрерывно и монотонно, а освещенная область расщепляется в дифракционные полосы. На рис. 168 показана дифракционная картина, наблюдаемая при дифракции света на крае экрана. Таким же путем можно рассчитать дифракционную картину на щели или длинном прямоугольном экране. На рис. 169 показана тень проволоки от точечного (или линейного) источника.
