Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА
На черный экран падает плоская световая волна. Из-за дифракции за экраном, наряду с неотклоненной волной, появятся волны всевозможных направлений (рассеянный свет). Показать, что количество рассеянной энергии равно количеству энергии, поглощенному экраном.
Решение. Заменим экран дополнительным, т. е. отверстием той же величины и формы. От этого по теореме Бабине интенсивность светового поля в бесконечности сохранится неизменной во всех направлениях, за исключением направления первичной волны. Но на любое строго фиксированное направление за отверстием приходится нулевая интенсивность света, так как отверстие рассей- 282
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
вает весь падающий на него свет. С другой стороны, экран по предположению полностью поглощает весь падающий свет. Отсюда непосредственно получается требуемый результат. Разумеется, он применим только в тех случаях, когда размеры экрана очень велики по сравнению с длиной волны,
§ 42. Зоны Шустера и спираль Корню
1. В одномерных задачах, например при рассмотрении дифракции на прямоугольной щели, разбиение волнового фронта на кольцевые зоны нецелесообразно. Лучше разбивать волновой фронт на полосатые зоны, называемые зонами Шустера (1851—1934). Ограничимся случаем, когда волновой фронт плоский, хотя обобщение на случай сферического фронта и не встречает никаких затруднений. Пусть плоскость волнового фронта AB перпендикулярна к плоскости рис. 165. Обозначим через b длину перпендикуляра PO, опущенного из точки наблюдения на волновой фронт. Проведем цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через точку P перпендикулярно к плоскости рисунка, а радиусы равны b, b + к/2, Ь + 2(к/2),... Тогда волновой фронт разобьется на прямоугольные полосы, которые и называются зонами Шустера. Центральную зону условимся считать за две зоны: одна расположена справа,
г2
' п
b2 + Xl,
а другая слева от точки О. Тогда + Хп-г, а потому r'n — = Xn — X1n-X- Приближенно
rl - r\ _, = (ra + г ^1) (rn - /V1) = 2Ъ (К/2) = Ьк.
Таким образом, получаем рекуррентное соотношение
X2n-Xfl-I = Vk,
из которого могут быть найдены все хп. Так как X0 = 0, то
Ь2 +
(42.1)
X1 = Vbk, X2 = V^bk,
хп = Vnbk.
(42.2)
Ширины последовательных зон Шустера будут
VVk, (V2-\)Vbk, (V3 -V^)V Vk, ... (42.3)
Они монотонно убывают и в пределе, когда г->оо, стремятся к A./2, как это ясно из их построения. (Впрочем, высшие зоны не играют роли. Имеют значение только несколько десятков первых зон Шустера.) ЗОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ
283
Как и в случае зон Френеля, применим теперь графический метод (рис. 153). Каждую Зону Шустера разобьем на узкие полоски ц будем изображать колебание в точке Р, вносимое отдельной полоской, вектором на векторной диаграмме. Затем перейдем к пределу., устремляя к нулю ширину каждой полоски. В результате получится плавная кривая, называемая спиралью Корню (1841—1902) (рис. 166). Она состоит из двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг «фокусов» F и F' и неограниченно приближающихся к ним. Верхняя ветвь представляет действие правой половины волнового фронта, нижняя — левой. Отличие
каждой из ветвей от соответствующей спирали на рис. 153 обусловлено более быстрым убыванием начальных зон Шустера, чем зон Френеля. Колебание, возбуждаемое первой правой зоной Шустера, изображается вектором OA, второй правой — вектором Л2, двумя первыми правыми зонами вместе — вектором 02 и т. д. (все эти векторы на рис. 166 не проведены). Колебание, возбуждаемое всем волновым фронтом, представляется вектором F'F, соединяющим фокусы спирали Корню. По мере приближения к фокусам амплитуды колебаний становятся все меньше и меньше и в пределе обращаются в нуль.
2. При нахождении уравнения спирали Корню надо учесть, что реально всегда приходится иметь дело не с бесконечными, а с ограниченными волновыми фронтами, причем заметная интенсивность наблюдается лишь при малых углах дифракции. Поэтому в формуле (41.1) изменения знаменателей г и г' (а также уже отброшенных ранее ослабляющих множителей К (а)) можно 284
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
не принимать во внимание. Если нас интересует только относительное распределение интенсивности, то можно положить гг' = 1. В плоскости волнового фронта фазу можно представить в виде ф = о)t — kr (здесь произведено переобозначение: в формуле (41.1) расстояние г обозначалось через г').
Примем волновой фронт за координатную плоскость XY, а начало координат поместим в точке О. Тогда г2 = Ь1 + (х2 + у2), а следовательно, г — b = (хг + уг)!{Щ + ... Члены высших степеней можно отбросить, если даже они добавляют в фазу слагаемые порядка я и больше. Дело в том, что такие члены, как это видно из формы спирали Корню, не меняя общего характера дифракционной картины, производят в ней только практически незаметные смещения высших дифракционных максимумов и минимумов. Кроме того, Еысшие дифракционные максимумы и минимумы следуют друг за другом столь часто, что для их реального осуществления требуются точечные источники света высокой степени монохроматичности. В противном случае все дифракционные полосы высших порядков размываются и переходят в равномерно освещенный фон. Отбросим все фазовые множители, не влияющие на относительное распределение интенсивности светового поля. Тогда поле в точке наблюдения P представится интегралом
