Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
1. Положение светлых и темных полос при дифракции плоской волны на крае экрана можно приближенно (но с достаточной точностью) определить по точкам пересечения нижней ветви спирали Корню с прямой F'F, соединяющей ее фокусы, приняв во внимание, что в этих тфчках прямая FF' практически перпендикулярна к спирали Корню, Найти таким путем координаты указанных полос.
Ответ,
Xn = 1U Vkr (8п — 5) (светлые полосы), Xn-1IiVkr(^n-X) (темные полосы),
г,пе п = 1, 2, 3, ...
2. Когда звезда проходит мимо края Луны, получаются дифракционные голосы. Определить скорость их движения V по земной поверхности и оценить порядок их ширины Ах. Для наблюдения полос можно воспользоваться телескопом, в фокусе которого помещен фотоэлемент. Полосы, проходя перед объективом телескопа, возбуждают переменные электрические токи, которые могут быть усилены и с помощью осциллографа записаны на движущейся ленте. Оценить длительность t прохождения полос перед объективом.
Принимая звезду за равномерно светящийся диск, можно теоретически рассчитать распределение освещенности в дифракционной картине. Сравнивая его с распределением освещенности, найденным экспериментально, можно опредс-л іть угловой диаметр звезды, что и было фактически выполнено в 1946 г. Уайт-q ордом для четырех звезд на стодюймовом рефлекторе Маунт-Вильсоновской обсерватории. Оценить угловые размеры звезд, для которых может быть пригоден этот метод.
Ответ. V ~ 500 м/с; Ax ~ Vbk^slO м, где 6 = 3,8-105 км — среднее расстояние до Луны. Метод пригоден, когда угловые размеры звезд лежат примерно в интервале от 10~4 до Ю-3 угловой секунды.
3. Для получения фотографий дифракционных картин в тех случаях, когда источник света и экран расположены очень далеко, В. К- Аркадьегым (1884— 1953) был применен метод подобия, в котором вместо действительных препятствий, стоящих на пути лучей, используются их уменьшенные и подобные модели, но длина волны сохраняется неизменной.
Требуется получить фотографию дифракционной картины от диска диаметром D — 50 см, когда на его оси расположен точечный источник света на расстоянии A= 25 км, а экран удален от него на В = 50 км (плоскость экрана перпендикулярна к оси диска). С этой целью диск-заменили уменьшенной моделью с диаметром d = 1 см. Пользуясь методом зов Френеля, определить, на каких расстояниях а и b следует поместить источник света и экран, чтобы получилась подобная и уменьшенная в п = 50 раз дифракционная картина,
Ответ, a = Aln2 =10 м, b = Bfn2 =20 м. 288
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
§ 43. Принцип Гюйгенса в формулировке Кирхгофа
1. До Кирхгофа принцип Гюйгенса — Френеля оставался гипотезой. Кирхгоф в 1883 г. вывел формулу, которую можно рассматривать как уточненную формулировку указанного принципа. Приведем вывод формулы Кирхгофа, хотя в дальнейшем и не будем ею пользоваться. Читатель может опустить
его без ущерба для понимания дальнейшего.
Допустим, что среда, в которой распространяется свет, однородна. Будем характеризовать световое поле какой-то величиной Е. Под E можно понимать либо вектор Е, либо вектор В, либо одну из их проекций на декартовы оси координат. Эта величина 'удовлетворяет волновому уравнению
Д E-
-1^ = 0,
V2 dt2
которое в случае монохроматического поля 'переходит в
Рис. 170.
AE + k2E = 0.
(43.1)
Найдем значение E в произвольной точке пространства P (рис. 170). Обозначим через г переменное расстояние какой-либо точки А от Р. Величина
Х=1 е-«', (43.2)
рассматриваемая как функция точки А, также удовлетворяет уравнению
Ax + k2x = 0. (43.3)
Окружим точку P произвольной замкнутой поверхностью F, и притом тй-кой, что в окружаемом ею пространстве нет источников света. Функция % обращается в бесконечность в точке Р. Исключим эту точку, окружив ее сферой / достаточно малого радиуса R с центром в Р. Тогда во всем пространстве между сферой / и поверхностью F функции E и %, а также их производные будут конечны и непрерывны. К ним можно применить формулу Грина (1793—1841)
-%AE)dV
(43.4)
'дп %дп) '
F + f'
где V — объем пространства между поверхностями f и F, a ti — внутренняя нормаль по Отношению к этому пространству. Так как в указанном пространстве источников'света нет, то в нем справедливы уравнения (43.1) и (43.3). Следовательно,
E А% — %AE = —k2(E%—yE) = 0,
а потому
§
f
EdZ-XdI
дп ''дп
df-
' дп
дЕ\^
Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя радиус сферы f к нулю. Правая часть равенства при этом не будет меняться. Что касается левой, то, взяв радиус R настолько малым, чтобы kR 1, можно заменить экспоненциальный множитель е-'** единицей, Тогда левая часть примет вид
1 дЕ R dR
}df. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА В ФОРМУЛИРОВКЕ КИРХГОФА
'289
дЕ
Так как величины E и ^ в окрестности точки P конечны, то интеграл от второго
дЕ
слагаемого будет порядка —4яR -щ , т. е. при R-*- 0 обратится в нуль. Интеграл же от первого слагаемого в пределе перейдет в —4лEp- Окончательно
я-
