Общий курс физики. Том 4. Оптика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
§ 46. Дифракционная решетка
Ї. Дифракционная решетка — важнейший спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой делительной машиной нарезано очень много (до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов. На стеклянных решетках наблюдения можно производить как в проходящем, так и в отраженном свете, на металлических — только в отраженном. Применяются вогнутые металлические решетки, в которых штрихи наносятся на вогнутой сферической поверхности.
Сначала рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Ширину щели обозначим через Ь, ширину непрозрачной части экрана между двумя соседними ще- 5 461 дифракционная решетка
303
лями — через а. Величина d = a + b называется периодом решетки. В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих от щелей решетки при ее освещении. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, т. е. либо на бесконечно удаленном экране, либо
//c/sirul
Рис. 182.
в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.
Пусть на решетку перпендикулярно к ее поверхности падает плоская монохроматическая волна (рис. 182). Разность хода между вторичными волнами, исходящими из соседних щелей решетки,
2 я
будет d sin G, а разность фаз б = kd sin G = -^ d sin где G —
угол дифракции. Обозначим через E1 поле в точке наблюдения, излучаемое первой щелью. Оно определяется формулой E1 =
= Ь
sm а
. Поля, излучаемые остальными щелями, представятся
выражениями:
E2 = E1C E3 = E1C
-2/3
EN = EiTtW-**6,
где N — общее число щелей. Полное поле, излучаемое всеми щелями, представится суммой
E = E111 + е~і6 + е-2«'6 +... + «r/W-»«] = E1
1-
- і N а
откуда
E = E1 si"(ui/2)
A = A1
sin (6/2)
sin (N6/2) sin (6/2)
(46.1) 604
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
[ГЛ. IV
где A1 — вещественная амплитуда волны от одной щели, А — от всей решетки. Для интенсивностей получаем
Формулы (46.1) и (46.2)—основные в теории дифракционной решетки.
2. Когда 0 = 0, то 6 = 0. В этом случае выражения (46.1) и (46.2) принимают неопределенный вид 0/0. Раскрыв неопределенность, получим s
Arn = NAu Itll = N2I1. (46.3)
Тот же результат получается в случае 6/2 = тл, т. е. при
cfsinO = mA. (т = 0, ±1, ±2, (46.4)
В направлениях, определяемых этим условием, получаются максимумы, интенсивность которых в N2 раз превосходит интенсивность волны от одной щели в том же направлении. Они называются главными максимумами. Целое число т называют порядком главного максимума или порядком спектра. Условие (46.4) определяет направления, в которых излучения от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах, а потому усиливают друг друга. В таких направлениях при отдельных значениях т могут и не возникнуть максимумы. Это будет, когда I1 = 0, т. е. в направлениях на дифракционные минимумы от одной щели. Например, если а = Ь, то все главные максимумы четных порядков не появятся. Действительно, условие появления главного максимума порядка 2п имеет вид d sin О = 2пк. При a = 2b оно переходит в b sin О = = nk, т. е. в условие дифракционного минимума на щели. Таким образом, в рассматриваемом направлении ни одна щель, а потому и решетка в целом не излучают.
3. Выражения (46.1) и (46.2) обращаются в нуль, если sin (N6/2) = 0, но sin (6/2) 7t 0, т. е. при No/2 = (Nm + р) я, или
d sin О = [т + k (p = i, 2, ..., N- 1). (46.5)
В соответствующих направлениях получаются дифракционные минимумы, в которых интенсивность света равна нулю. Между двумя соседними минимумами получается максимум. Такие максимумы называются второстепенными или добавочными. Между двумя соседними главными максимумами располагается (N — 1) минимумов и (N — 2) добавочных максимумов. На эти максимумы и минимумы накладываются ,минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели, в которых функция E1 обращается в нуль.
Второстепенные максимумы находятся примерно посередине между соответствующими дифракционными минимумами. Величину 5 461 ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА
305
6, определяющую направление на какой-либо из второстепенных максимумов, можно поэтому вычислить по приближенной формуле
ДГ б (Nm + p) + (Nm + p+ 1) „
iv Y — 2 '
или
ї = (т + Щ±±-)л. (46.6)
2 - 2N
Пользуясь этой формулой, найдем приближенное выражение для интенсивности второстепенных максимумов в окрестности соответствующего главного максимума (т. е. при малых р). В положениях второстепенных максимумов числители в формуле (46.2) равны единице. Если число щелей решетки N очень велико, а номер второстепенного максимума р невелик, то угол 6/2 будет мал, и можно положить
.6 , . 2р+1 , 2р+1 sm т = ± sm я ^ ±-Jfr я.
Это дает
I1 ( 2N \а _ 4
л2 \ 2р-\-1 ) (2р+1)2 ла гл"
Таким образом, интенсивности главного максимума и ближайших к нему второстепенных максимумов находятся в отношениях
