Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
277
лекул, скорости которых по величине заключены в интервале (vt), vn + dv,,), а направления (на площадке А0В„) лежат в пределах телесного угла dQ0. Скоростные точки таких молекул заполняют в скоростном пространстве объем MNN'M', величина которого равна dco0 vdQndvn (рис. 66), а их концентрация в обычном пространстве будет dn„ --n0f (l>0) dilnvl dv(l. Ясно, что если такие молекулы пересекут площадку А„В0, то они пройдут и через площадку АВ. Число молекул рассматриваемой группы, проходящих ежесекундно от площадки /1,Д, через площадку АВ, будет равно dN0 — dS„vitdti0, где dS0 — площадь площадки Л0В0-Число молекул, летящих по тем же траекториям в обратном направлении от площадки А В и проходящих через площадку А„В{), будет dN ~ dSv dn, где dS — площадь площадки АВ, равная по условию dS0, a dn = nf (v) dilir dv. Если состояние установилось, то принцип детального равновесия требует dN =
~ dNо, т. е. vdn — v0dn0. (77.6)
При движении вверх или вниз меняется величина и направление скорости молекул. Вследствие этого меняется и величина телесного угла, в пределах которого направлены касательные к траекториям молекул рассматриваемой группы. Однако, поскольку действующая сила параллельна направлению А0А, величина скорости молекулы, перпендикулярная к тому же направлению, остается неизменной. Меняется только продольная составляющая скорости, т. е. скорость, параллельная А0А. Отсюда непосредственно следует, что изменение телесного угла в пучке молекул происходит по закону
... const dll = —j—,
а потому v2dQ = vldQ0.
Далее, по закону сохранения энергии mv* , mv,і
-2- + Єр=~Г,
(77.7)
(77.8)
(77.9)
если за нуль принять потенциальную энергию молекулы на уровне площадки Варьируя скорость v при не-
изменных положениях площадок А0В() и АВ (т. е. при постоянстве ер), получим
v dv = v() dv0.
(77.10)
Подставим теперь в (77.6) выражения для dn и dn0. Тогда с учетом (77.8) и (77.10) найдем
nf(v) = n0f(v0). (77.11)
278
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
Если в качестве аргумента ввести кинетическую энергию молекулы, то это соотношение перепишется так:
где є = 1/2 mvl — полная энергия молекулы: е = гк + е^. Но
согласно закону Максвелла (77.12)
Но это и есть закон распределения Больцмана. Если выражение
(77.3) ввести в (77.5), то получится
Это выражение дает среднюю концентрацию молекул dn в рассматриваемом месте пространства, скоростные точки которых лежат в элементе объема сім скоростного пространства. Мы видим, что dn определяется только полной энергией молекулы 8,юш = = е ---- е* -Ь 8р. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы снабдили символ 8 индексом «полн», которьііі должен напоминать, что речь идет о полной энергии молекулы. Формула (77.13) называется распределением Максвелла—Больцмана.
5. Необходимо теперь снять ограничения, введенные при молекулярно-кинетическом выводе распределения Больцмана. Таких ограничений два. Во-первых, мы предполагали, что силовое поле всюду имеет одинаковое направление, а именно — параллельное прямолинейной траектории А0А (см. рис. 05). От этого ограничения легко освободиться, записав соотношение (77.3) в дифференциальной форме. Действительно, силовое поле в пределах бесконечно малой области газа может считаться однородным. К такому полю применимы наши рассуждения. Но для бесконечно малой области формула (77.3) принимает вид
Она справедлива и для неоднородного поля. Поэтому интегрируя ее, мы снова приходим к формуле (77.3), но уже без всяких ограничений.
Во-вторых, надо принять во внимание столкновения. Из числа dNlt молекул, прошедших сквозь площадку А0Ви, не все дойдут до АВ из-за столкновений с другими молекулами. Однако наряду с прямыми столкновениями, выводящими молекулы из рассматриваемого пучка, существуют обратные столкновения, за счет которых пучок пополняется другими молекулами. И если состояние статистически равновесно, то по принципу детального равновесия моле-
nf (є*) = л0/(є),
(77.12)
f(ek)^e'^T, /(8)~f
E/*T
а потому
(77.3a)
dn — n(le 'Eiio.in'A7 do).
(77.13)
'lEt>
cl (In n) = —-T~.
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
279
культ, выбывшие из пучка, в среднем будут восполнены молекулами, вступившими в него при обратных столкновениях. В результате среднее число молекул рассматриваемого типа, достигших площадки АВ, не изменится. То же справедливо и для молекул, прошедших сквозь площадку АВ и достигающих площадки ЛПВ„. Столкновения, таким образом, приводят только к замене одних молекул другими, но не меняют средние значения dN„ и dN молекул в пучках. Следовательно, при наличии столкновении доказательство сохраняет силу.
6. Заметим еще, что распределение Больцмана мы получили из соотношения (77.12), считая доказанным закон распределения скоростей Максвелла. Можно было бы поступить наоборот: предполагая доказанным закон распределения Больцмана, например, методами гидростатики, из формулы (77.12) получить закон распределения молекул по скоростям Максвелла. Мы видим, что законы распределения Максвелла и Больцмана тесно связаны и взаимно обусловливают друг друга: из одного с необходимостью следует другой. Оба распределения обусловлены столкновениями между молекулами. В частности, в законе распределения Больцмана с особой отчетливостью проявляются две противоположные тенденции. Регулярно действующее силовое поле (сила тяжести) стремится сконцентрировать все молекулы на дне сосуда. Беспорядочные толчки, испытываемые молекулами при тепловом движении, препятствуют этому. Они снабжают молекулы газа кинетической энергией, при наличии которой молекулы способны преодолевать силу тяжести и подниматься вверх.
