Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
1. Применим закон распределения Больцмана к уединенной планете, окруженной газовой атмосферой. Последнюю будем считать изотермической. Кроме того, будем предполагать, что нее молекулы одинаковы. Это предположение не лишает наши рассуждения общности, поскольку каждый газ (если его рассматривать как идеальный), входящий в состав атмосферы, ведет себя независимо от остальных газов. Будем считать, что масса атмосферы пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты. Тогда потенциальная энергия молекулы в поле тяготения планеты будет равна — GMm.'r. Для концентрации молекул п на расстоянии г от центра планеты закон Больцмана (77.3) дает
GMm
п = пу*т, (79.1)
где М — масса планеты, a G — гравитационная постоянная. Если бы формула
(79.1) была применима на всех расстояниях от планеты, то на бесконечности получилось бы конечное значение для концентрации п, а именно п = п0. Но это невозможно, так как общее количество молекул в атмосфере планеты конечно, а объем пространства, окружающего ее, бесконечно велик. Равновесие возможно только при п0 — 0, т. е. при полном отсутствии атмосферы.
2. Невозможность равновесного состояния планетной атмосферы связана с тем, что потенциальная энергия молекулы в поле тяготения планеты в бесконечности остается конечной. Приняв се за нуль, можно сказать, что молекула при отсутствии столкновений совершала бы инфинитное движение, если бы ее полная энергия была положительна (см. т. I, § 57). Такие молекулы (а они всегда появляются в результате столкновений) не могут удерживаться полем тяготения планеты. Поэтому к планетной атмосфере в целом неприменима формула Больцмана (77.3), так как ее вывод предполагал, что газ находи гея в состоянии термодинамического равновесия. Пусть в некоторый момент скорости молекул в атмосфере распределены по закону Максвелла. Если бы с этого момента молекулы перестали сталкиваться между собой, испытывая лишь упругие столкновения
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
285
с поверхностью планеты, то все молекулы, скорости которых превышают вторую космическую (см.т. I, § 61), навсегда покинули бы планету. Остались бы только молекулы со скоростями, меньшими второй космической. Они совершали бы финитное движение вокруг планеты, а их скорости были бы распределены по закону .Максвелла. Для финитных систем возможно термодинамическое равновесие. Оно будет обязательно больцмановским, если скорости молекул распределены по закону Максвелла. Действительно, к этому случаю полностью применимо рассуждение, изложенное нами в § 77 (пункты 4, 5). Для такого распределения в гравитационном поле ~ 1 г- требуется бесконечное множество молекул, и оно устанавливается бесконечно долго. Если, однако, из всех молекул, совершающих финитное движение, отобрать молекулы с полной энергией е, удовлетворяющей неравенству е < е0 < 0, то, каково бы ни было значение е0, получится больцмановидое распределение с конечным числом частиц и конечным временем установления.
3. Для планеты достаточно большой массы доля молекул со скоростями, превышающими вторую космическую, ничтожна. Вторая космическая скорость в проблеме рассеяния атмосферы называется скоростью убегания молекулы, а молекулы со скоростями, превышающими эту скорость,—убегающими молекулами. Скорость убегания меняется с расстоянием молекулы от центра планеты. Ввиду ничтожной доли убегающих молекул распределение частиц в атмосфере является квази равновесным и при постоянной температуре может быть описано следующим образом. Подавляющая доля молекул распределена в пространстве но закону Больцмана. На больцмановское распределение накладывается поток убегающих молекул. Вблизи планеты относительная концентрация молекул в таком потоке ничтожна. По мере удаления от планеты эта относительная концентрация непрерывно растет. На бесконечности все молекули являются убегающими. Поток у'бегающих молекул непрерывно пополняется в результате межмолекулярпых столкновений. Это приводит к тому, что планета в конце концов должна потерять атмосферу. Почему же Земля, Венера и другие планеты Солнечной системы имеют атмосферы? Потому, что время т, в течение которого планета теряет атмосферу, очень велико. Время т называется временем рассеяния атмосферы. Его оценкой мы и займемся.
4. Точный расчет времени рассеяния реальной атмосферы потребовал бы знания параметров верхних слоев атмосферы и учета происходящих в них процессов. Действительно, рассеяние планетных атмосфер непосредственно определяется только условиями и процессами в верхних слоях атмосферы. Точный расчет, однако, в настоящее время вряд ли возможен, даже с использованием данных о верхней атмосфере Земли, полученных с помощью ракет и искусственных спутников. Оценка времени рассеяния идеализированной изотермической атмосферы, которую мы приводим, может дать результат, отличающийся на порядок и даже больше от действительного времени рассеяния. Однако она все же дает представление о порядке величины этого времени. Кроме того, эта оценка может служить интересным примером применения кинетической теории газов.
