Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
288
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
[ГЛ. VI
параметром размерности длины в этом случае является радиус планеты г„, но он не имеет отношения к рассеянию атмосферы. Однако уединенная планета есть абстракция. Реальная планета вращается вокруг Солнца. А так как нели-чииа г„, входящая в формулу (79.15), как будет видно из дальнейшего, очень нечувствительна к выбору длины I, то в качестве I можно взять радиус планетной орбиты. Для обоснования этого заметим, что в системе отсчета, связанной с планетой, на молекулу действуют сила гравитационного притяжения планеты Fni, сила гравитационного притяжения Солнца Fcovl и сила инерции Fm„ связанная с ускоренным движением центра планеты к Солнцу (от осевого вращения планеты можно отвлечься — оно не играет принципиальной роли). Как было подробно разъяснено в первом томе (§§ 05, 69), сила FCO. Ill полностью компенсируется силой инерции Fіш» если пренебречь неоднородностью поля тяготения Солнца. С учетом указанной неоднородности компенсация не будет полной, п с этим связано явление приливов в планетной атмосфере. На расстояниях порядка радиуса планетной орбиты пи о какой компенсации речи быть не может. На таких расстояниях сила FIU становится меньше результирующей сил Fcom и Если молекула удалилась так далеко, то можно считать, что к планете она уже не вернется.
7. Итак, за I мы примем величину порядка радиуса планетной орбиты. Конкретно, для Земли возьмем I 10s км. По формуле (79.1) найдем для различных газов значения радиуса гп, при котором к - 10в км. При этом мы предполагаем, что на земной поверхности атмосферное давление нормальное (средняя длина свободного пробега к - 10 5 см для всех газов). Полагая г„ - 6375 км, Т — ЗСО К, получим табл. 7.
Таблица 7
Газ Молекулярный нес га• км Высота над земмоіі поверхностью h ¦¦ rG — л(|, км
No 28 6,78 ¦ 16s 400
Не 4 1,09- 104 4 Г>00
н, 2 .4,72 • 104 28 800
Таблица показывает, что если бы атмосфера состояла из одних только тяжелых газов (тяжелее водорода), то сфера о практически совпадала бы с поверхностью Земли. В этом случае можно было бы пользоваться формулой (79.18) для бесконечно разреженной атмосферы. Для водорода радиус г„ значительно превышает радиус Земли В случае сложной атмосферы, состоящей из смеси различных газов, величина г„ определяется наиболее легким компонентом ее (с учетом, конечно, содержания этого компонента в атмосфере). Так, если для земной атмосферы принять, что содержание водорода составляет 10 от полного числа молекул атмосферы (что примерно вдвое больше действительного числа), то мы получили бы />,= 1,4- IО1 км. Но даже во всех этих случаях можно пользоваться формулой для бесконечно разреженной атмосферы. Она дает вполне приемлемую оценку. Действительно, во всех случаях, представляющих интерес, величина хL’ очень велика, и в формуле (79.15) можно пренебречь единицей по сравнению с Г- x‘j. В этом приближении
''а
ї°=-а (79.19)
Т(7 Гп ’
где Т(, и тп означают времена рассеяния, вычисленные по формуле для бесконечно разреженной атмосферы и по формуле (79.15) соответственно. Мы видим, что формула для бесконечно разреженной атмосферы (79.19) завышает время рассеяния всего в несколько раз. Поэтому дальнейшие численные расчеты будут произведены с помощью формулы (79.18).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
289
8. Однако с помощью формулы (79.18) не так легко оценить время рассеяния атмосферы. Формула очень чувствительна к температуре атмосферы Т, влияние которой сказывается преимущественно через экспоненциальный множитель е*°. А так как на разных высотах температура атмосферы —разная
и, кроме того, подвержена частым и нерегулярным изменениям, то невозможно с достаточной точностью определить значение Т, которое следует подставлять в формулу. Поэтому мы воспользуемся формулой (79.18) для решения обратной задачи — по заданному времени т найдем а затем и температуру планетной атмосферы, при которой она рассеивается в окружающее пространство за время т. Возраст Земли ~ 4 • 10а лет - « 4 • 10в ¦ 3,156 • 107 с. Проведем расчет для т=Ю10 лет и т=108 лет. Для Земли р = 5,517 г/см3. Подставляя это значение в формулу (79.18) и логарифмируя, приходим к уравнению
0,4343*? = 14,19 + lg лг0 + lg (*« + 1). (79.20)
в котором 0,4343 есть модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Корень уравнения (79.20) легко находится методом последовательных приближений.
Нулевое приближение. В правой части уравнения отбрасываем оба слагаемые, содержащие логарифмы. Получаем х\ — 32,68.
Первое приближение. В правую часть подставляем значение х0 из нулевого приближения. Это дает *§ = 37,92. Таким же путем поступаем в последующих приближениях и получаем: второе приближение *„ = 38,15, третье приближение = 38,15.
Таким образом, уже второе приближение обеспечивает точность до четырех значащих цифр.
Итак, для т= Ю10 лет лг® = 38,15. Аналогичные вычисления для т = Ю8 лет дают — 33,34. Температура Т может быть вычислена по формуле
в Rugp
“ D'i, kT ’
или
Rogorn (79.21)
kx*
9. Результаты вычислений приведены в табл. 8. Из нее видно, что время т очень чувствительно к изменениям температуры Т. При изменении Т на 12—15% % меняется на два порядка. Отсюда следует, что рассеяние атмосферы должно сильно возрастать из-за нерегулярных местных колебаний температуры. Рассеяние сильно возрастает также из-за диссоциации двухатомных и многоатомных молекул под действием солнечного излучения. Из таблицы видно, что поле тяготения Земли надежно удерживает в течение геологических эпох все газы земной атмосферы, за исключением водорода и гелия. Формула (79.21) объясняет, почему Луна практически лишена атмосферы, а мощное гравитационное поле Юпитера не позволяет в течение геологических эпох рассеяться сколько-нибудь заметно даже наиболее легкому газу — атомарному и молекулярному водороду. Понятно также, почему Луна лишена атмосферы, а на Титане — шестом спутнике Сатурна — обнаружена атмосфера нз метана (СН.,) и, возможно, аммиака (NH3), хотя скорости убегания на обоих спутниках почти одинаковы (2,4 км/с на Луне и 2,6 км/с на Титане). Дело в том, что температура поверхности Титана (примерно 70—120 К) много ниже температуры лунной поверхности. При такой низкой температуре только наиболее легкие газы — водород и гелий — обладают тепловыми скоростями, достаточными для быстрого улетучивания их в окружающее пространство.
