Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Опишем вокруг планеты сферу о, концентрическую с поверхностью планеты. Радиус га этой сферы возьмем настолько большим, чтобы столкновениями между молекулами вне сферы а можно было полностью пренебречь, но этого нельзя делать в пространстве, ограниченном сферой о. Предположим, что на сфере а справедливо распределение Максвелла — Больцмана для всех молекул. В отношении молекул, совершающих финитное движение, справедливость этого предположения ие вызывает сомнений. Но для убегающих молекул оно верно только приближенно. Введем две скорости убегания: на поверхности планеты и на сфере
а. Обозначим их соответственно и va- Если ги — радиус планеты, g0 п ga .-= = gi,/~ г* — ускорения силы тяжести на поверхности планеты и на сфере о, то
va — V 2gt>r о
(79.2)
286
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
I ГЛ. VI
%=1л2а0г0=гпуГЦ?-. (79.3)
Для Земли = 11,2 км/с (см. т. I. § 61). Величины г„ и va связаны между собой уравнением энергии
= ,+Єр, (79.4)
где е„ — разность потенциальных энергий на сфере а и на поверхности планеты.
Дальнейшие вычисления удобно производить, приняв за единицу наиболее вероятную скорость vm, определяемую соотношением (73.5). Скорость X = VJVm, измеренную в таких единицах, будем называть безразмерной скоростью. В частности, безразмерные скорости убегания на поверхности планеты и на сферео равны А'|( tyi'm и ха ¦— va'vm. Ввиду (79.2) и (79.3) они связаны соотношением
4 = ^*5- (79.5)
' а
Соотношение (79.4) в безразмерных величинах запишется
еР
^-х^ — хЪ- (79.6)
С учетом соотношения (79.6) из закона распределения Больцмана (77.3) получим
п0ГХЬ=п{<ГХ\ (79.7)
где п0 — концентрация молекул на сфере о. Наконец, если пользоваться безразмерными скоростями, то максвелловское распределение примет вид
dn =-^=rX2e"~** dx. (79.8)
I n
Концентрация убегающих молекул на сфере о равна
4 Пд
г я
где J означает интеграл со
J = J х-ц-*2 dx. (79.10)
ха
Средняя безразмерная скорость таких молекул будет
со
<*>х>ха = ) jj Л'3е_ДГ dX-;о
Интегрируя это выражение по частям, получим
С“2^(*о+ 1)е~Х'а. (79.11)
Найдем средний поток убегающих частиц Z, исходящий наружу от сферы а. Поскольку распределение скоростей молекул изотропно, можно воспользоваться формулой (75.5). Средняя скорость рассматриваемых частиц, выраженная в обычных единицах, равна cvm, а потому эта формула дает 7. — 1>iScum:\n, где
S — 4лл= — поверхность сферы о. Подставив сюда выражения (79.9) и (79.11)
и воспользовавшись формулами (79.5) и (79.7), получим
Z = 2 Yл j — 1 ) п0лоУ,„е , (79.12)
\г<з /
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
287
Это выражение и дает число молекул, теряемых атмосферой в единицу времени. Его можно представить в виде ,,,
2=~dF> <79ЛЗ>
где N — полное число молекул в атмосфере.
Концентрацию п„ можно выразить через N. Подавляющая масса атмосферы приходится на тонкий слой, примыкающий к поверхности планеты. В пределах этого слоя можно пренебречь кривизной поверхности планеты, а также изменением ускорения силы тяжести с высотой, т. е. положить g— 4,v Тогда распределение Больцмана (77.3) переходит в барометрическую формулу, и мы получаем
°-J гп%0г а; л *> С ~Pf~ j л *
N = Anr-,nn \е dz = 4;ir-tin----------•.
.1 mgu
о
Отсюда и найдется концентрация па. Подставляя ее в выражение (79.12) и воспользовавшись уравнением (79.13), придадим последнему вид
сШ ___N
dt ~ т ’
где введено обозначение
(79.14)
т=.------gJL^L.., /із. (79.15)
*о + 1)
'/о /
Интегрирование уравнения (79.14) дает
N = Nlfi-K <*>Л6>
Из этой формулы видно, что постоянная т имеет смысл времени, по истечении которого число молекул н атмосфере уменьшается в е раз. Поэтому т может служить мерой времени, в течение которого планета может удерживать свою атмосферу.
5. Формула (79.15) еще не решает задачу, так как она содержит радиус га, который мы еще не определили. В одном предельном случае решение очевидно. Это случай, когда планетная атмосфера — бесконечно разреженная. В ней полностью отсутствуют столкновения между молекулами, а распределение молекул в пространстве и по скоростям устанавливается в результате столкновений с поверхностью планеты. В рассматриваемом случае следует положить г0 = гп.
2 kT -----
Используя, кроме того, соотношения vm =-------- и xuvm — vu =) 2rugu, получим
Y
Yi
gu *о(*5+1)’
X1
e
(79.17)
(79.18)
2Gp *o(*5+ 1) ’
где p — средняя плотность планеты. Ясно, что величина т, определяемая этими формулами, имеет смысл времени рассеяния бесконечно разреженной атмосферы.
6. Остается определить радиус га, когда атмосфера не является бесконечно разреженной. Для этого надо указать значение какой-то длины I, чтобы при г _> I молекулу можно было считать не принадлежащей к атмосфере планеты. Тогда радиус га определится из условия к — I, где к — средняя длина свободного пробега молекулы при г - га. В частности, атмосфера может считаться бесконечно разреженной, когда условие к - I соблюдается уже при г -= ги.
Для уединенной планеты нельзя заранее (т. е. без точного решения задачи) указать никакой длины, которую можно было бы принять за /. Единственным
