Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
заимствованных непосредственно из реального мира. Аналогичное утверждение
относительно более сложных математических понятий, в том числе понятий,
играющих важную роль в физике, по-видимому, неверно. Например, правила
действий над парами чисел были, очевидно, специально придуманы так, чтобы
мы могли получать результаты, совпадающие с результатами действий над
дробями. С правилами же этих действий мы знакомились, ничего не зная о
"парах чисел". Правила действий, производимых над последовательностями,
т. е. над иррациональными числами, также относятся к категории правил,
которые были сформулированы так, что воспроизводили правила действий над
уже известными нам величинами. Более тонкие математические понятия -
комплексные числа, алгебры, линейные операторы, борелевские множества и
т. д. (этот список можно было бы продолжать почти до бесконечности)-были
задуманы как подходящие объекты, с помощью которых математик мог
продемонстрировать гибкость своего ума, способность воспринимать
формальную красоту. Действительно, определение этих понятий и ясное
понимание того, в каких интересных и тонких рассуждениях их можно было бы
использовать, служит первым свидетельством остроумия придумавшего их
математика. О глубине идеи, заложенной в формулировке нового
математического понятия, можно судить лишь впоследствии по тому,
насколько искусно удается использовать это понятие. Великий математик
полностью владеет всем арсеналом допустимых приемов мышления и, действуя
подчас весьма рискованно, балансирует на самой грани допустимого. Уже
одно то, что его безрассудство не завело его в пучину противоречий, само
по себе чудо. Трудно поверить, что дарвиновский процесс естественного
отбора довел наше мышление до такой степени совершенства, которой оно,
судя по всему, обладает. Однако это не наша тема. Основная мысль, к
которой нам еще предстоит вернуться, состоит в другом: не вводя других
понятий, кроме содержащихся в аксиомах, математик смог бы сформулировать
лишь весьма ограниченное число интересных теорем, и новые понятия он
вводит именно так, чтобы над ними можно было производить хитроумные
логические операции, которые импонц-
13. Непостижимая эффективность математики в естественных науках 185
руют нашему чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их помощью
результатам, обладающим большой простотой и общностью *).
Особенно яркой иллюстрацией сказанного служат комплексные числа. Ничто в
имеющемся у нас опыте, очевидно, не наводит на мысль о введении этих
величин. Если же мы спросим у математика о причинах его интереса к
комплексным числам, то он с негодованием укажет на многочисленные изящные
теоремы в теории уравнений, степенных рядов и аналитических функций в
целом, обязанных своим появлением на свет введению комплексных чисел.
Математик отнюдь не склонен отказываться от наиболее прекрасных творений
своего гения2).
ЧТО ТАКОЕ ФИЗИКА?
Физик видит свою задачу в открытии законов неодушевленной природы. Чтобы
смысл этого утверждения стал ясным, необходимо проанализировать понятие
"закон природы".
Окружающий нас мир поразительно сложен, и самая очевидная истина
заключается в том, что мы не в состоянии предсказать его будущее. В
известном анекдоте лишь оптимист считает будущее неопределенным, тем не
менее в данном случае оптимист прав: будущее непредсказуемо. Как заметил
однажды Шредингер, "чудо, что, несмотря на поразительную сложность мира,
мы можем обнаруживать в его явлениях определенные закономерности"3).
Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, состоит в том, что два
камня, брошенные в один и тот же момент времени с одной и той же высоты,
упадут на землю одновременно. Именно о таких закономерностях и идет речь
в законах природы. Галилеева закономерность стала прототипом широкого
класса закономерностей. Удивительной же ее следует считать по двум
причинам.
Во-первых, удивительно, что эта закономерность наблюдается не только в
Пизе и не только во времена Галилея, но и в любом другом месте земного
шара; она была и будет .верной всегда. Это свойство закономерности есть
не что иное, как известное свойство инвариантности. Некоторое время назад
[7]
') Поляни [2] (на стр. 188) говорит следующее: "Все упомянутые выше
трудности проистекают единственно из нашего нежелания понять, что
математику как науку нельзя определить, не признав ее наиболее очевидного
свойства - того, что она интересна".
2) В этой связи читателю будет небезынтересно ознакомиться с весьма
красочными замечаниями Гильберта об интуиционизме, который пытается
"подорвать и обезобразить математику" (см. [3, 4]).
8) См. работу Шредингера [5], а также работу Дубислава [6].
186
IV. Размышления
я уже имел случай заметить, что без принципов инвариантности, аналогичных
тем, которые вытекают из приведенного выше обобщения замеченного Галилеем
опытного факта, физика не могла бы существовать.
Вторая удивительная особенность закономерности, открытой Галилеем,
