Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тел.
188
IV. Размышления
позволяет указывать по известным координатам и скоростям любых тел вторые
производные от координат этих тел по времени, но ничего не говорит о
существовании самих тел и значениях их координат и скоростей в данный
момент времени. Истины ради следует упомянуть и о том, что, как стало
известно лет тридцать назад, даже условные утверждения, в форме которых
мы выражаем законы природы, не являются абсолютно точными, поскольку
представляют собой лишь вероятностные законы. Опираясь на них и используя
то, что нам известно о состоянии неодушевленного мира в данный момент, мы
можем лишь заключать более или менее разумные пари о его будущих
свойствах. Вероятностный характер законов природы не позволяет нам
высказывать никаких категорических утверждений, даже если ограничиться
категорическими утверждениями, содержание которых обусловлено состоянием
мира в данный момент. Вероятностный характер "законов природы"
проявляется и в случае машин, и его нетрудно обнаружить, по крайней мере
в ядерных реакторах, работающих в режиме очень малой мощности. Тем не
менее область знаний, охватываемая законами природы, подвержена
дополнительным ограничениям, рытекающим из вероятностного характера этих
законов1) (в дальнейшем эти ограничения не будут играть для нас никакой
роли).
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ
Освежив в памяти наиболее существенные черты математики и физики, мы
можем теперь лучше разобраться в той роли, которую математика играет в
физических теориях.
В своей повседневной работе физик использует математику для получения
результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости
условных утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или
интересующим его конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным,
законы природы должны формулироваться на математическом языке. Однако
получение результатов на основе уже существующих теорий - отнюдь не самая
важная роль математики в физике. Исполняя эту функцию, математика, или,
точнее, прикладная математика, является не столько хозяином положения,
сколько средством для достижения определенной цели.
Математике, однако, отводится в физике и другая, более "суверенная" роль.
Суть ее содержится в утверждении, сделанном нами при обсуждении роли
прикладной математики: чтобы стать объектом применения прикладной
математики, законы
¦) См., например, работу Шредингера [5].
13. Непостижимая эффективность математики в естественных науках 189
природы должны формулироваться на языке математики. Утверждение о том,
что природа выражает свои законы на языке математики, по существу было
высказано 300 лет назад1). В наши дни оно верно более чем когда-либо.
Чтобы продемонстрировать всю важность использования математических
понятий при формулировке законов физики, достаточно вспомнить, например,
аксиомы квантовой механики, сформулированные в явном виде великим
математиком фон Нейманом [14] и в неявном виде великим физиком Дираком
[13]. В основу квантовой механики положены два понятия: понятие состояний
и понятие наблюдаемых. Состояния - это векторы в гильбертовом
пространстве; наблюдаемые - самосопряженные операторы, действующие на
векторы состояния. Возможные значения наблюдаемых определяются
собственными значениями этих операторов и т. д., но мы предпочитаем
остановиться на этом и не перечислять математических понятий, развитых в
теории линейных операторов.
Разумеется, для формулировки законов природы физики отбирают лишь
некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь
небольшую долю всех имеющихся в математике понятий. Правда, понятия
выбираются из длинного списка математических понятий не произвольно: во
многих, если не в большинстве, случаях необходимые понятия были
независимо развиты физиками, и лишь впоследствии было установлено их
тождество с понятиями, уже известными математикам. Однако утверждать, как
это нередко приходится слышать, будто так происходит потому, что
математики используют лишь простейшие из возможных понятий, а последние
встречаются в любом формализме, было бы неверно. Как мы уже видели,
математические понятия вводятся не из-за их логической простоты (даже
последовательности пар чисел - понятия далеко не простые), а потому, что
они особенно легко поддаются тонким логическим операциям и облегчают
проведение глубоких и блестящих рассуждений. Не следует забывать, что
гильбертово пространство квантовой механики - это комплексное гильбертово
пространство с эрмитовым скалярным произведением. Для неподготовленного
ума понятие комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак
не следует из физических наблюдений. Тем не менее использование
комплексных чисел в квантовой механике отнюдь не является вычислительным
трюком прикладной математики, а становится почти необходимым при
формулировке законов квантовой механики. Кроме того, по-видимому, не
только комплексным числам, но и так называемым аналитическим функциям
