Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем
занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области
прогнозирования изменения численности народонаселения. Оттиск одной из
своих работ статистик показал бывшему соученику. Начиналась работа, как
обычно, с гауссова распределения. Статистик растолковал своему приятелю
смысл используемых в работе обозначений для истинных показателей
народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного недоверчив и
отнюдь не был уверен в том, что статистик его не разыгрывает.
- Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? - спросил
он. - А это что за символ?
- Ах, это, - ответил статистик. - Это число п.
- А что оно означает?
- Отношение длины окружности к ее диаметру.
- Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, - обиделся приятель
статистика. - Какое отношение имеет численность народонаселения к длине
окружности?
Наивность восприятия друга нашего статистика вызывает у нас улыбку. Тем
не менее, когда я слушал эту историю, меня не покидало смутное
беспокойство, ибо реакция приятеля была не чем иным, как проявлением
здравого смысла. Еще большее замешательство я испытал через несколько
дней, когда один из моих студентов выразил удивление по поводу того, что
для проверки своих теорий мы отбираем лишь крайне незначительное число
данных2).
"Представим себе, - сказал студент, - что мы хотим создать теорию,
пригодную для описания явлений, которыми мы до сих пор пренебрегали, и
непригодную для описания явлений, которые казались нам имеющими
первостепенное значение. Можем ли мы заранее утверждать, что построить
такую теорию, имеющую
*) Доклад прочитан 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете на Ку-
рантовских математических лекциях. Опубликован в журнале: Comm. Pure and
Appl. Math., 13, 1 (1960).
2) Речь идет о замечании Вернера, в то время студента Принстонского
университета.
13. Непостижимая эффективность математики в естественных науках 183
мало общего с существующей ныне, но тем не менее позволяющую объяснять
столь же широкий круг явлений,нельзя?" Я вынужден был признать, что
особенно убедительных доводов, исключающих возможность существования
такой теории, нет.
Две рассказанные истории служат иллюстрациями двух главных тем моего
доклада. Первой - о том, что между математическими понятиями подчас
возникают совершенно неожиданные связи и что именно эти связи позволяют
нам удивительно точно и адекватно описывать различные явления природы.
Второй - о том, что в силу последнего обстоятельства (поскольку мы не
понимаем причин, делающих математические понятия столь эффективными) мы
не можем утверждать, является ли теория, сформулированная на языке этих
понятий, единственно возможной. Мы находимся в положении, несколько
аналогичном положению человека, держащего в руках связку ключей и
пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано или поздно ему
всегда удается подобрать ключ к очередной двери, но сомнения относительно
взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него
остаются.
Большая часть того, что будет здесь сказано, не отличается новизной; в
той или иной форме аналогичные идеи, по-види-мому, приходили в голову
многим ученым. Моя основная цель заключается в том, чтобы рассмотреть эти
идеи с нескольких сторон. Во-первых, обратить внимание на чрезвычайную
эффективность математики в естественных науках как на нечто загадочное,
не поддающееся рациональному объяснению. Во-вторых, показать, что именно
эта сверхъестественная эффективность математических понятий поднимает
вопрос о единственности физических теорий. Для обоснования тезиса о
непостижимо важной роли, которую математика играет в физике, я постараюсь
кратко ответить на вопросы: что такое математика и что такое физика?
Затем мы рассмотрим, каким образом математика входит в физические теории
и, наконец,- почему успехи математики в физике кажутся нам столь
непостижимыми. Гораздо меньше будет сказано по второму тезису о
единственности физических теорий. Обстоятельный ответ на этот вопрос
потребовал бы огромной работы как в области теории, так и в области
эксперимента; к этой работе мы по существу до сих пор еще и не
приступали.
ЧТО ТАКОЕ математика?
Кто-то сказал, что философия - это злоупотребление специально
разработанной терминологией1). Следуя духу этого высказывания, я мог бы
определить математику как науку о хи-
*) Приведенное замечание принадлежит Дубиславу [1].
184
IV. Размышления
троумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над
специально придуманными понятиями. Особенно важная роль при этом,
разумеется, отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем
в математике быстро иссяк бы, если бы их приходилось формулировать лишь с
помощью тех понятий, которые содержатся в формулировках аксиом. Но это
еще не все. Понятия элементарной математики, и в частности элементарной
геометрии, были, бесспорно, сформулированы для описания объектов,
