Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точке г = 0, / = 0. Здесь dco-инвариантный элемент 2-объема (Синг [1175],
стр. 430). Области прошедшего и будущего на световом конусе определяются
уравнениями и = 0 и v - 0 coot- f ветственно (фиг. 57).
Ясно, что в силу симметрии (5.7) по и и и формальные вычисления одинаковы
в обоих случаях. Выполним интегрирование по области и = 0, так чтог =
н/у^2 и двумерный элемент объема имеет вид
d(o = - г2 sin 0 dr dQ dtp = ~ и sin 0 du dQ dq>. (5.9)
Из вида (5.7) следует, что интеграл будет несобственным. Поэтому мы
вырезаем малую область изотропного конуса в окрестности вершины О и
рассматриваем интеграл, аналогичный (5.8), в пределах
е<ы< со, О<0<я, 0<ср<2я. (5.10)
При этом интегрирование по 0 и ф для двух последних членов в (5.7) дает
нуль, и, следовательно, в пределах (5.10) мы имеем
Фиг. 57. Две области изотропного конуса.
^ ? F da = ^ ^ sin 0 dQ d<$ j ¦ 8 8 Интеграл по и равен
d*F
К
- и
d*F
du dv
dF
_L ( dF
и V du
dF
dv
udu. (5.11)
dF
du dv
du
dv
du =
dF ^ , rc ы -- j du= \ F -
dv J L
dF 1 u=°° U dV Ju=8
(5.12)
при условии, что эти пределы существуют. Следовательно, если на
бесконечности F стремится к нулю так, что вдоль светового конуса
р - dF
dv
0
при и->оо,
то
^ ?Fdco= - 4яFq,
(5.13)
(5.14)
где F0 - значение F в вершине изотропного конуса. Это и есть искомый
результат. Он имеет место для интегрирования по любой области изотропного
конуса.
Переходя в случае плоского пространстна - времени к отысканию решения
дифференциального уравнения
UH = F, (5.15)
можно рассмотреть в качестве пробного решения
1
(5.16)
где Р - текущая точка в любой области изотропного конуса с вершиной в
точке Р'. Чтобы выполнить дифференцирование относительно Р\
176
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
мы смещаем изотропный конус и находим разницу во вкладах, соответствующих
равным элементам da. Это эквивалентно дифференцированию по Р под знаком
интеграла. Следовательно, используя (5.14), мы получаем
? nF(P)da = F{P% (5.17)
откуда видно, что (5.16) действительно оказывается решением уравнения
(5.15). Однако не следует думать, что это решение единственно, так как к
Н можно прибавлять любые волновые функции1), если только подобные
добавочные члены не исключены с помощью какого-либо дополнительного
условия (Боннор (751).
§ 2. Линейное приближение
Сделаем теперь первый шаг в построении полей Эйнштейна, пользуясь
методом, рассмотренным в гл. IV, § 6. Нестрогие рассуждения о грубых
приближениях зачастую притупляют лезвие математической логики, и
возникает опасность упустить самые основные стороны вопроса. С другой
стороны, цель вырисовывается гораздо более отчетливо при анализе скорее
естественных в той или иной ситуации приближений. Мы встанем на
компромиссный путь в том смысле, что вначале задача будет ставиться
интуитивно, а затем мы будем возвращаться к ней снова, опираясь на более
совершенный математический базис.
Представим себе описываемое малым тензором энергии T{j распределение
материи, порождающее слабое поле. Тогда существуют координаты х1, такие,
что
?i; = 1li; + Y;;. (5.18)
где и его частные производные - малые величины. Будем искать решение
уравнений поля
Gy= -x7Y, (5.19)
ограничиваясь, однако, линейным приближением, в котором квадратичными
относительно членами можно пренебречь. Итак, мы отбрасываем эти члены
более высокого порядка малости, в результате чего Gi; сводится к Нф
имеющему вид (4.167). Теперь задача сводится к решению системы линейных
дифференциальных уравнений в частных производных. Результаты решения
будут изложены ниже. Пока же лучше всего обратиться к точной математике,
поскольку, с одной стороны, точные результаты нам понадобятся в
дальнейшем, а, с другой стороны, из них нетрудно получить качественное
представление.
Пусть имеется четырехмерное пространство с координатами х*, меняющимися
от -оо до + оо. Чтобы придать рассмотрению геометрический характер,
снабдим это пространство метрикой Минковского т){, = diag (1,1, 1, -1),
так что его можно рассматривать как плоское пространство - время и
говорить об изотропных конусах в этом пространстве. Определим
симметричные функции Аи (х), удовлетворяющие условию
^>,* = 0, (5.20)
а также удовлетворяющие условиям непрерывности и обращения в нуль на
бесконечности (т. е. при г-" оо, где г2 =хаха), причем эти условия (не
будем
1) В книге Синга 11175] на стр- 361-367 в качестве примера приведена
простая
волновая функция, убывающая на бесконечности как 1/га и не имеющая
сингулярности.
§ 2. Линейное приближение
177
утруждать себя их детальным описанием) таковы, что приведенные ниже
операции можно выполнить тем путем, каким это нам потребуется. Ищем Yi}-,
удовлетворяющие уравнению
Н"=-хАф (5.21)
где #i}- определяется формулой (4.167). Удобно ввести линейный оператор
L'i'iаЬ с помощью соотношения
^ "Хь = Лаь (ХаЬ, и + хи. аЬ - xaii -xai, bi) -
-%rfV(Xab."i-X.e.b*). (5.22)
Тогда (5.21) можно записать в виде
Uiabyab=~2xAif. (5.23)
