Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
<р = 2 ^ r~xfdv,
(5.39)
где dv - dx1dx2dx3, > -пространственное расстояние от Р', как показано на
фиг. 58, а интегрирование проводится по дА = х*(Р').
Обращаясь к методу итераций, описанному в гл. IV, § 6, положим теперь
?i, = Tlii + Y1,= Tlii +VP (5.40) и исследуем свойства физического
пространства с данной метрикой, вычисляя, в частности, тензор энергии по
формуле
Tif = х = 8 л. (5.41)
В последующих вычислениях можно не придавать особого значения тому, что
<р имеет вид (5.38) или (5.39). В действительности, мы имеем дело с
метрической формой, которую можно записать в виде
ф = (1 + <р) (dx2 + dy2 + dz2) - (1 - <р)dt2, (5.42)
где ф - произвольная функция (х,у,г)ч Однако для правильной сигнатуры
будем отдавать себе отчет в том, что
Фиг. 58. Интеграл для потенциала.
- 1 < ф < 1.
(5.43)
Пока никаких предположений о малости <р не делается; это откладывается до
получения (5.53).
Обозначая частные производные ф с помощью индексов, имеем
?аЗ=Йаз(1+ф). ga 4 = 0, ?44=-(1-ф),
7а3 :
"з
1Ч-Ф '
Г"3 = 2(1 -|- ф) (^атФЗ бзуфа 6арфу),
1-ф
(5.44)
Г4 ¦
1 а4 :
Фа
Г ОС
44 =
Фа
2 (1 -ф) * 2(1 -Ф) '
а другие Г-символы равны нулю (во всех этих вычислениях величины,
содержащие индекс 4 один раз, обращаются в нуль). Важно вычислить
12*
180
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
тензор Римана, так как он описывает гравитационное поле; из (1.88)
находим
Ra$y6 ----2 (^РвФау 4" бауфрй - бруфай ^айфру) "Ь
з
4 (1 _|_<р) (^Рйфафу + ^ауфрфй ^айфрфу - ^руфафй) '
4 (1 <р) Ч'оФо (^ау^Рй - ^айвру).
(5.45)
Rifiyi- ~2 Фру - 4(1_ф2) ФРФу + 4 (1 _|_(р) йРуФоФо-Для тензора Риччи и
скалярной кривизны получаем
^ар = ТП + ф) 6арАф - фар -
1-2ф+3ф2 1 .
2 (1 -ф2)2 ^Р 2 (1 +ф) (1 -Ф2) °"Р(Ро(Ро"
R<xi = 0, (5.46)
Р _ Дф , ФоФо
*<4----------------------------
444 ~ 2 (1+ф) 2(1+ф) (1 - ф2) '
п 1 - Зф д 5-4ф+3ф*
R - <1+ф) О -ф*) Ф " 2 (1+ф) (1 - ф2)* фо(Ро' где Фоо = Аф.
Следовательно, тензор Эйнштейна имеет вид
/¦> Ф /л а \ 1 -2ф+3ф2 . 3-2ф+3ф2
^"Р - 1 -"- ф2 (°"З^Ф Фар) 2(1 - ф2)2 ^"^Р 4 (1-ф2)2
Ga4 = 0, (5.47)
•у, 1-ф А 3 1-ф
С44- (1 + Ф)2 ф 4 (1 + ф)зФо(Ро'
Тензор энергии задается тогда посредством (5.41), а главные направления и
собственные значения определяются из уравнения
TtjV = Qgijk1, (5.48)
аналогично (4.140). Совершенно очевидно, что для трех из этих главных
векторов компонента Я,4 = 0 (так как Ga4 = 0), причем главные натяжения
определяются соответственными значениями 0. Что же касается плотности р.,
то мы имеем 0 = - р и
(5.49,
На этом вычисления, основанные на метрике (5.42), заканчиваются.
Обратимся теперь к формуле (5.39), согласно которой
<p = 2^r~1fdv, Аф-- 8л f. (5.50)
Заметим, что 4/*Ф представляет собой ньютоновский потенциал для
"плотности" /. Эту плотность не следует смешивать с истинной плотностью р
построенного нами физического пространства; р связана с f соотношением
м - f I 3 <р°<р° (5 511
(1Ч-Ф)2 32я (0.01)
Приведенная выше формула справедлива и в том случае, когда / имеет
поверхности разрыва, так как условие соединения заключается в непре-
§ 3. Статическое поле Эйнштейна в присутствии тел
181
рывности GaрлР, а это здесь выполняется, ибо при интегрировании по
некоторой замкнутой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
^ (барАф - <раР) n*dS = 0. (5.52)
Теперь создается возможность изучить релятивистскую модель, в которой
тела удерживаются покоящимися в окружающей их среде. Положим f = 0
повсюду во внешней области. Но поскольку формулы оказываются при этом
несколько громоздкими, мы прибегнем к приближению, рассматривая ф и его
производные как малые величины и оставляя лишь члены до второго порядка
малости. В этом случае (5.47) и (5.51) упрощаются:
13
Gap = ф (бар Аф - фар) 2" фафр + -J барфоФо"
Ga4=0, (5.53)
С44=(1-Зф) Аф--|ф0Фо,
ц = /:(1+ ф)'2 + -^ ФоФо,
так что отношение р.// оказывается приблизительно равным единице. На
границах тел имеют место разрывы, так как вне тел Дф = 0. Исследуем
плотность ре среды, окружающей тело. Если тело обладает плотностью pi, то
мы (приближенно) имеем
3 Ф0Ф0
(5.54)
Pi 32я Pi Если массу тела определить как
m=^[idv-^fdv, (5.55)
то в случае двух сфер с массами т и т' значение ф в некоторой внешней
точке равно
ф = ~~~ Ч~ = 2V, (5.56)
где г, г' - расстояния от центров этих сфер до выбранной точки, а V -¦
ньютоновский потенциал. (Обратим внимание на множитель 2; в теории
относительности "магическим числом", связанным с телом, оказывается 2
т/г, а не т/r, как в ньютоновской теории гравитации.) Переходя к оценке
отношения (5.54) в случае, когда роль рассматриваемых тел выполняют
Солнце и Земля, заметим, что на поверхности каждого из них значение Фо Фо
очень близко к значению, обусловленному лишь одним (соответствующим )
телом. Таким образом,
Гте 3 /2mV 4яг3 1 т /с с-7\
77= зн^; -з^г = у- • (5-57)
где т - масса тела, а г - его радиус. Подставив сюда соответствующие
численные значения, мы получим следующие величины отношений внешней
плотности (плотности окружающей среды ) к внутренней:
