Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 83

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 211 >> Следующая

и речь шла о попытке получить уравнения (4.182) из (4.180) путем
некоторого предельного перехода. Действительно, все получается очень
просто, если предположить отсутствие натяжений в рассматриваемом теле.
Однако по существу это сведет задачу к уже рассмотренной в § 4, где было
показано, что линии тока некогерентной жидкости (или облака пыли)
представляют собой геодезические. Случай же обращения натяжений в нуль
физически неинтересен, а попытка приближенного подхода к случаю малых
натяжений может легко привести к ошибке, так как тензор натяжений-
величина размерная и ее можно считать малой лишь по сравнению с другими
величинами той же размерности. Поэтому мы откажемся от приближенного
рассмотрения и будем искать точные следствия уравнений (4.180).
§ 7. Замечания о движении изолированного тела
171
Для удобства введем в каждой мировой точке на поверхности 2 нашей мировой
трубки величину
Q = NiS%. (4.183)
Тогда вследствие (4.177) уравнения (4.180) дадут на 2
р,NiDVi = Q. (4.184)
В общем случае движение тела происходит с вращением в смысле § 3; иными
словами, тело имеет спин. Однако случай отсутствия вращения гораздо легче
поддается анализу, и мы обратимся в первую очередь к нему.
При невращательном движении линии тока образуют нормальную конгруэнцию, и
можно изобразить нормальное трехмерное сечение S мировой трубки (фиг.
55). Пусть а будет двумерным пересечением 5 и 2. Тогда NL, единичный
вектор внешней нормали к 2, в то же время будет единичным вектором
внешней нормали икав трехмерном пространстве S. Так как вектор DV1
ортогонален к V1, то DV1 лежит в 5, и поэтому инвариант NtDVl будет
внешней компонентой вектора DV1, нормальной к а в 5. Естественным образом
полагая плотность положительной, мы видим из равенства (4.184), что знак
этой нормальной внешней компоненты совпадает со знаком Q. Действительно,
если
Q > 0 на 2, (4.185)
то вектор DV1 оказывается везде на о направленным наружу. Однако,
согласно теореме о фиксированной точке в пространственноподобном
трехмерном пространстве, содержащем векторное поле, на всей границе этого
пространства направленное во вне его, найдется точка, в которой вектор
поля обратится в нуль. Отсюда мы заключаем, что при выполнении
неравенства (4.185) в S существует точка, в которой выполняются равенства
(4.182). Так как мировая трубка имеет со1 нормальных сечений, внутри этой
трубки содержится со1 точек, в каждой из которых справедливы равенства
(4.182). Эти точки образуют внутри трубки кривую С (см. фиг. 55).
Заметим, что С представляет собой геометрическое место точек, в которых
отсутствует ускорение. Само по себе оно не является, вообще говоря,
линией тока, и, конечно, нет оснований считать линию С временноподобной.
Мы еще возвратимся к условию (4.185) при его интерпретации для случая
жидкости.
Перейдем к более сложному случаю вращающегося тела. Теперь у мировой
трубки нет нормальных сечений, и неясно, на какие сечения следует
опереться при рассуждениях, подобных предыдущим. Взяв какое-либо
пространственноподобное сечение 5, направленная в будущее единичная
нормаль которого есть п1, мы получим в S
- niVi< - 1, (4.186)
где К - максимальное значение | п.у1 | в S. В отсутствие вращения можно
сделать К = 1 (перейдя к нормальному сечению), вообще же говоря,
желательно выбрать S таким образом, чтобы величина К приняла наименьшее
возможное в 2 значение. Однако мы воздержимся от обсуждения этого
интересного геометрического вопроса и удовлетворимся тем, что предположим
существование некоторого значения К, такого, что в 2 имеет место
соотношение
1<| пу1\<К. ! (4.187)
Фиг. 55. Трубка' мировых линий в отсутствие вращения.
172
Гл. IV. Материальные среды
Тогда, несколько грубым образом, можно считать величину К-1 мерой
вращения тела.
На фиг. 56 изображены граница мировой трубки 2 с единичным вектором
внешней нормали N1, пространственноподобное сечение S с единичной
нормалью пг, пересечение ст гиперповерхностей S и 2, единичный вектор v1
внешней нормали к ст в S и 4-скорость V1. Величина К в соотношении
(4.187) задает верхнюю грань также для величины | /г4ЛГ |, что можно
показать, используя в каждой точке на ст координаты, в которых
fti = diag(l. 1, 1, -1),
Vм = 1, Л/1 = 1, (4.188)
причем остальные компоненты V1 и N1 равны нулю. Тогда из (4.187) следует,
что
К|<К, (4.189)
откуда
Фиг. 56. Трубка мировых линий при наличии вращения.
nl<K2- 1.
(4.190)
Таким образом, интересующая нас верхняя грань определяется как
|п^|<(^-1)^. (4.191)
Подобным же образом, на основании тождества
VfiV1 = 0 (4.192)
можно показать, что
| п{ОУ1 (< 6 (К2 - 1 )1/г, (4.193)
где Ь - первая кривизна линии тока (абсолютное ускорение), определяемая
как
b* = gijDVl DV1. (4.194)
Так как вектор v* направлен во внешнюю сторону и v4 dxl = 0 для каждого
сдвига, удовлетворяющего условиям tii dxl = 0 и Nt dxl = 0, мы получим
= + а > 0. (4.195)
Отсюда, ввиду того, что п^у1 =0 и п^п1 - - 1, следует
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed