Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(5.111) удовлетворяются, если жидкости сообщить скорость в направлении
оси х8 и одновременное вращение около этой оси. Положим
ы1=_(о(г)х2, "2 = <o(r)x\ и3 = и3 (г), г2 = (х1)2 + (х2)2, (5.112)
где со - любая гладкая функция, достаточно быстро убывающая на
бесконечности. Тогда из (5.111) следует единственное уравнение
(со2/-2 + и2) = - со2/-, (5.113)
которому можно удовлетворить, приняв
г
"з =? С - coV2 - ^ со2г dr, (5.114)
о
где константа С выбрана так, чтобы величина и\ была положительной для
всех значений г. Определив, таким образом, иа, удовлетворяющие (5.111) и
отсюда - фар, удовлетворяющие (5.109), мы получаем требуемые начальные
значения, которые можно использовать при решении уравнений поля (5.105).
Разумеется, нельзя пытаться упростить эти уравнения путем подстановки в
них величин, соответствующих только гиперповерхности х4 = 0. Отметим,
однако, что это начальное значение равно
1 1 (gap, 44)в =--2 'IW't'aP + Фар-Фрм-= ~2 ^а^рЫцЫц. (5.115)
*) Этот метод приводит к решениям, симметричным во времени в том смысле,
что ряд (5103) для gap содержит лишь четные степени х* (Фуре-Брюа [359],
Вебер и Уиллер [1347], Брилл [87, 88], Араки [7]).
2) Обратим внимание на четвертую степень ф. Вычисления аналогичны
следую-
щим за (8.36), но в трехмерном, а ие в четырехмерном пространстве.
§ 6. Проблема Коши для идеальной жидкости
189
Из вида подстановки (5.112) видно, что рассмотренные нами гравитационные
волны можно рассматривать как цилиндрические (см. гл. IX, § 3). Это -
волны весьма специального вида. Более подробное изучение условий
непрерывности (5.107) привело бы к другим, более интересным, типам волн.
§ 6. Проблема Коши в нормальных гауссовых координатах для случая
идеальной жидкости
В предыдущем параграфе мы рассмотрели проблему Коши для среды,
описываемой тензором энергии Tijt и могло создаться впечатление, что
приведенный анализ применим, в частности, и к случаю идеальной жидкости,
когда, согласно (4.84),
Tij = (\i + p)ViVj + pgij. (5.116)
Однако это не так. Существенная особенность тензора (5.116) заключается в
том, что вырожден и имеет три одинаковых собственных значения. В
предыдущем параграфе мы задавали тензор Тар в пространстве - времени
произвольным образом, а затем находили Ti4 из уравнений поля. Нет никаких
оснований считать, что при такой процедуре вырождение Ti; сохраняется. В
действительности, изложенный выше метод оказывается в случае идеальной
жидкости вообще непригодным, и необходимо начать все рассмотрение
сначала, взяв из предыдущего анализа только то, что применимо к случаю
идеальной жидкости. Такая программа вполне себя оправдывает, так как эта
задача действительно имеет фундаментальное значение в небесной механике.
В ньютоновской механике положения и скорости элементов солнечной системы
считаются в момент времени t = 0 заданными, а движение системы
определяют, решая соответствующие дифференциальные уравнения (в случае
твердых тел - обыкновенные дифференциальные уравнения, в случае жидкости
- уравнения в частных производных). Как об этом уже упоминалось, понятие
твердости на теорию относительности не распространяется и,
поскольку выбор невелик, мы
будем рассматривать тела как жидкости. В начале лучше оставить в
стороне
вопрос о плотности материи и рассматривать поле жидкости общего вида.
Будем, как и раньше, пользоваться нормальными гауссовыми координатами,
так что аналогично случаю (5.82) и (5.90)
ga 4 = 0, gu=- 1, ?"< = 0, g"=- 1. (5.117)
Уравнения поля имеют вид
+ "Ту = 0, к = 8 л, (5.118)
где задан по (5.116). Кроме того,
У4У*=-1. (5.119)
Таким образом, здесь 11 уравнений для 12 неизвестных
gad, vit ц, р, (5.120)
и, следовательно, недостает еще одного уравнения.
Есть четыре вполне разумных способа ввести дополнительное уравнение. Во-
первых, можно было бы принять, что
р = 0,
(5.121)
190
Г л. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
так что среда оказалась бы некогерентной *) (облако пыли). Этот случай мы
уже рассмотрели в гл. IV, § 4. Как было показано, линии тока представляют
собой геодезические. Однако это еще очень далеко от исчерпывающего
описания. Во-вторых, можно было бы предположить, что между плотностью н
давлением существует связь:
f(V,p) = 0. (5.122)
Уравнение (5.122), очевидно, содержит как частный случай условие (5.121).
В-третьих, мы могли бы принять уравнение
(рУ*)ц = 0, (5.123)
которое можно интерпретировать как закон сохранения массы. Из этого
уравнения, согласно (4.87), следует, что У|*= 0, т. е. движение
происходит без источников и стоков2). В-четвертых, мы могли бы
модифицировать (5.123), положив
(дУ*)ц = 0, (5.124)
где q определяется формулой
Q = p + p. (5.125)
Согласно (4.86), это означает, что р вдоль каждой линии тока постоянно.
Сам факт малости отношения р/р. в большинстве физических ситуаций наводит
на мысль о том, что различие между (5.123) и (5.124) несущественно.
Однако замечания, сделанные по поводу величин (4.98), служат хорошим
