Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
метод), мы приходим к системе десяти нелинейных уравнений второго порядка
в частных производных
Gij= -кТц, (4.160)
удовлетворять которым должен тензор g;;. К ним нельзя добавлять никаких
координатных условий. Четыре уравнения сохранения
8тТц |k = 0, (4.161)
следующие из уравнений (4.160), не накладывают ограничений на выбор
тензора Tijy так как последний содержит неизвестный тензор gi;- не только
в качестве коэффициентов, но и в составе ковариантных производных.
Точно так же, как g-метод имеет отражение в теории Ньютона [см. (4.159)],
аналогом Г-метода будет задача о нахождении потенциала ф по заданному
распределению масс. Ее решением оказывается интеграл, сводящийся в случае
точечных масс к широко известному выражению
Ф = 2-^. (4.162)
К этому решению можно добавить любую гармоническую функцию, которую,
однако, обычно исключают, исходя из требования обращения потенциала в
нуль на бесконечности.
Человеку реалистического склада импонирует более Г-метэд, чем g-метод,
так как в этом случае отрицательную плотность можно исключить,
непосредственно задавая Г1з. Однако новый метод уступает в
реалистичности
самосогласованным уравнениям (4.148) для идеальной жидкости, поскольку он
не учитывает физической структуры вещества. Сточки зрения агониста, Г-
метод ставит привлекательную по своей трудности задачу из области
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, и здесь уже
намечены следующие три пути исследования.
1) Принимаются во внимание условия симметрии, заметно снижающие число
независимых переменных и неизвестных функций (см. гл. VII - IX).
2) Внимание сосредоточивается на задаче Коши (задаче начальных значений;
см. гл. V).
3) Используется метод последовательных приближений.
Начиная рассмотрение с метода последовательных приближений, мы заметим,
что при повсеместном, равенстве тензора Tij нулю должно иметь место
решение вида
gt; = Tlii = diag(l, 1, 1, -1), : (4.163)
представляющее собой метрику плоского пространства - времени.
Полагая
теперь тензор Tij малым, мы запишем поэтому
ёи = Лч + + йч + • • •, (4.164)
где числовые индексы обозначают порядок величины по отношению к
Tif.
Подставляя это разложение в уравнения (4.160) и разделяя слагаемые
различных порядков малости, мы получаем дифференциальные уравнения в
частных производных для различных слагаемых из (4.164). Член gif называют
линейным приближением по той причине, что соответствующие ему
дифференциальные уравнения линейны. В следующей главе мы найдем
168
Гл. IV. Материальные среды
линейное приближение при некоторых ограничениях, наложенных на 7\;-; оно
соответствует ньютоновскому выражению (4.162). При выходе за рамки этого
линейного приближения мы сталкиваемся с таким быстрым усложнением теории,
что оказывается весьма затруднительным расшифровать математический или
физический смысл результатов, полученных к настоящему времени ценой
остроумных и настойчивых усилий (Эйнштейн, Инфельд и Гофман [296],
Эйнштейн и Инфельд [294, 295], Инфельд 1474- 476, 480-483], Инфельд и
Плебаньский 1485, 486], Инфельд и Шайдеггер [487], Бергман 138], Боннор
177], Финци I336])1).
Мы опишем теперь более скромный план приближения, ограничивающегося двумя
шагами и подсказываемый уже упомянутым линейным приближением и следующими
двумя соображениями:
1) В той сложной ситуации, которую мы перед собой имеем, точное решение
уравнений поля гораздо предпочтительнее всяких приближений, причем даже
точное математическое решение представляет собой лишь приближение к
физической действительности (на большее не могла бы претендовать ни одна
математическая формула).
2) Мы будем здесь рассматривать уравнения (4.160) не как систему
уравнений для определения gijy но как систему уравнений, которым должны
удовлетворять 20 величин gLi и 7\.; всякое решение представляет ценность,
но в особенности ценно то, которое стоит ближе к физической
действительности. Этот план представляет собой комбинацию Г-метода и g-
метода и предполагает следующие шаги.
а) Выбираем любой набор симметричных функций А^(х), удовлетворяющих
четырем условиям
VMii>fe = 0. (4.165)
(Заметим, что берется частная производная!)
б) Подставим выражение
8ц = % + Yi,- (4.166)
в уравнение (1.108) и формально вычислим Gijt полагая компоненты у{j
бесконечно малыми и ограничиваясь лишь главными членами. Обозначая
полученный результат через Hljt можно записать
^ij 2 ^ (Yab, ij ~Г Yij, ab Yai, bj Yaj, bl)
~ ',1iX4d (Yab, cd ~ Yac, bd)}- (4-167)
в) Запишем уравнения
(4.168)
и будем рассматривать их как уравнения в частных производных для yti (Т-
метод). Эти уравнения согласуются с условиями (4.165) и имеют чрезвычайно
интересные и простые частные решения, именуемые обычно запаздывающим (или
опережающим) потенциалом. Мы обсудим этот вопрос в следующей главе, здесь
же достаточно сказать, что наше частное решение для yi} обращается в
нуль, если положить Аи = 0.
г) Подставим теперь частное решение в равенство (4.166) и получим таким
