Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
образом метрику gtj, с помощью которой вычислим соответствую-
') Указанные работы касаются так называемой "проблемы движения";
применяемый в них метод не вполне совпадает с описанным выше Г-методом,
так как в этих работах используются лишь уравнения поля в вакууме, а
вещество входит в виде особенностей. См. также работы Фока [341-344, 346,
347] и работы Кларка, приведенные л библиографии.
§ 7. Замечания о движении изолированного тела
169
щий тензор Gy. Тогда (следуя g-методу) мы получим тензор энергии
Ти=-*ГЮФ (4.169)
так что найденные величины gu и Ти удовлетворяют уравнениям поля (4.160).
Для того чтобы предлагаемый план был осуществим, нужно наложить на Aijt
кроме условий (4.165), только условия гладкости и достаточно быстрого
стремления к нулю на бесконечности. Поэтому выбрать подходящую величину
Ау, естественно, всегда можно. Следует, однако, проверить два
обстоятельства: 1) сигнатуру метрики gy и 2) знаки собственных значений
тензора Ту. Оба они могут быть приведены в согласие с требованиями
теории, если выбрать достаточно малые Aу. Речь идет не о бесконечной
малости Лу, поскольку условия сигнатуры и знаков имеют форму неравенств.
Взяв достаточно малые компоненты Aу, можно гарантировать малость уу>
достаточную для того, чтобы тензор gy (4.166) приобрел требуемую
сигнатуру. Более тонким оказывается вопрос о собственных значениях.
Допустим, что выбор величины Л, предполагает естественные знаки ее
собственных значений относительно т]у, т. е. корни характеристического
уравнения
det | _ 0Л*,-1 = 0 (4.170)
имеют знаки (+ + + -) [ср. (4.145)]. Собственными значениями тензора Гу
будут величины 0', удовлетворяющие уравнению
det|Ty-0'gy| = O. (4.171)
Выберем теперь Лу малыми, например порядка Ог. Тогда Уц = 01г так что
метрика gy отличается от т|у на Ог. Оценка Gy при этом дает
G" = //" + Oa, (4.172)
так что, согласно равенствам (4.169),
Т" = Л" + Оа. (4.173)
Отсюда следует, что при переходе от уравнений (4.170) к (4.171) знаки
собственных значений не меняются (ввиду достаточной малости Лу);
направления собственных векторов меняются также незначительно.
Однако следует подчеркнуть, что мы не обращались здесь к приближенному
методу. Мы не отбрасывали никаких малых величин. Наши средства
исчерпывались возможностью выбрать достаточно малые, но все же вполне
конечные величины Лу. Такой метод можно назвать методом обратной связи,
так как найденные из линейного приближения определяющие значения метрики
были вновь подставлены в точные уравнения. Мы используем этот метод в
следующей главе.
§ 7. Замечания о движении изолированного тела
Предпримем теперь (в духе реалиста) исследование движения материального
тела изолированного в том смысле, что оно движется в
пустоте. Другие
тела присутствовать могут, но мы ими интересоваться не будем.
Внутри
мировой трубки нашего тела справедливы уравнения поля
Gy= - xTij, х = 8я, (4.174)
а вне ее -
Gy = 0. (4.175)
170
Гл. IV. Материальные среды
Обозначим через 2 границы мировой трубки. Тогда тензор Gi?- терпит разрыв
на 2, однако этот разрыв подчиняется условию сшивания (1.229), которое
требует от тензора Gi; выполнения с внутренней стороны трубки равенств
G"W = 0 на 2, (4.176)
где N1 ¦- единичный вектор внешней нормали к 2. Из этого условия следует,
что тензор Эйнштейна имеет на 2 одно нулевое собственное значение,
которому соответствует собственный вектор /V*. Ввиду взаимной
ортогональности собственных векторов временноподобный собственный вектор
тензора Gi7-(т. е. 4-скорость V*) ортогонален к ЛГ, и можно записать
равенство, аналогичное (4.151):
У*ЛР = 0 на 2. (4.177)
Это соотношение соответствует тому факту, что поверхность 2
образована
линиями тока - утверждение, которое хотелось бы принять,
независимо
от данного результата, просто за его собственные достоинства. Следует,
однако, иметь в виду весьма жесткий характер предположения об
изолированности рассматриваемого тела, зафиксированный в условиях
(4.176). Физически они запрещают телу излучать, т. е. требуют равенства
потока энергии через его поверхность нулю.
С точки зрения уравнений (4.174) все равно, будем ли мы исходить из
тензора Gij (из геометрии) или из тензора Ti} (из физики). Выберем ТС и
вспомним при этом, что тензор энергии равен
Ti^pV^-S^, (4.178)
где р. - плотность, V{ - 4-скорость, a Si3 -натяжения,
удовлетворяющие
условиям
Si}Vs = 0. (4.179
Основным в этом случае будет уравнение (4.105):
fiDV* = S% - v's; (4-18°)
Здесь D= 6/6s - абсолютная производная вдоль линии тока, a ajk - тензор
распространения натяжений (4.62), удовлетворяющий равенствам
ajkVk = 0. (4.181)
Заметим, что уравнение (4.180) выражает абсолютное ускорение
линии тока (или, что то же, вектор ее первой кривизны) через другие
величины; условие же, что линия тока должна быть геодезической,
записывается как
DV* = 0. (4.182)
Теперь приведенное рассмотрение можно мотивировать, сказав, что его цель
состояла в выяснении смысла гипотезы о геодезических (см. гл. III, § 3),
