Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальных уравнений и неизвестных, которые должны им
удовлетворять. Однако при этом следует ввести важное понятие координат-
ных условий. Мы можем произвольно менять координатные системы в рамках
условия допустимости (см. гл. 1, § 1). Можно было бы перейти к нормальным
гауссовым координатам, в которых аналогично (1.213)
ga 4 = 0, g41 = - 1, (4.153)
если предположить, что четвертая координата временноподобна. Мы записали,
таким образом, частный случай координатных условий. Они могут быть и
более общими, однако существенно, что их всегда четыре', это число четыре
проистекает из того факта, что координатное преобразование включает
четыре функции, выражающие новые координаты через старые. Хотя нормальные
гауссовы координаты, вероятно, представляют собой простейший случай
конкретного вида координате пространстве - времени, существуют также
нулевые координаты, для которых (Синг [1184])
?и = ?"=?*" = ?" = 0. (4.154)
Если, исходя из каких-либо координат х1 и контрвариантного метрического
тензора gli, разрешить четыре уравнения в частных производных вида
-дх1 дх1 п ,гг,
g'W17~0' (4Л55)
то мы придем как раз к таким координатам ха, для которых выполняются
соотношения (4.154). В работах по теории относительности можно найти
целый ряд различных координатных условий, преследующих каждый раз особые
цели. Чтобы подойти к этому вопросу единым образом, запишем координатные
условия в виде
С4 = 0. (4.156)
Этим уравнениям (возможно, дифференциальным) должен удовлетворять
метрический тензор gtj. Конечно, они не могут быть тензорными, так как
они удовлетворяются лишь при специальном выборе системы координат.
Теперь можно перейти к сравнению числа уравнений с числом неизвестных. В
случае идеальной жидкости мы имеем, согласно уравнениям
(4.148), (4.149) и (4.156), внутри мировых трубок 10+1+4 = 15 уравнений,
которые должны удовлетворяться следующими 16 неизвестными: gij> I1 и Р-
Эта система недоопределена. Чтобы сделать ее определенной, следует
привлечь какую-либо дополнительную гипотезу, подобно тому, как это
делается в ньютоновской гидродинамике: можно было бы потребовать
постоянства р или постулировать некоторое в известной мере произвольное
уравнение, связывающее р и р. Что же касается поля в вакууме, то число
уравнений (4.139), казалось бы, равно 10; однако,на основании тождеств
G% = 0,
(4.157)
§ 6. Обсуждение уравнений поля и координатных условий
165
мы имеем в действительности в (4.139) лишь 6 независимых уравнений.
Вместе с 4 условиями (4.156) это составляет как раз 10 уравнений для 10
неизвестных gij. Таким образом, что касается числа уравнений, то задача
оказывается определенной (например, случай двух тел), если дополнительно
постулировать некоторое уравнение для давления и плотности.
Однако сосчитать дифференциальные уравнения в частных производных - это
далеко не то же самое, что решить их. Столкнувшись с такой сложной
ситуацией, необходимо задуматься и решить, что же именно мы стараемся
сделать. Реалист ответит, что мы пытаемся осуществить в теории
относительности программу ньютоновской динамики. Поскольку ньютоновская
динамика добилась замечательных успехов в области небесной механики,
может возникнуть вопрос, не был ли этот успех обязан каким-либо
дополнительным предположениям, привносимым "здравым смыслом". В случае
задачи двух тел точное рассмотрение двух жидких масс чрезмерно сложно, и
обычно берутся лишь два твердых тела. Далее можно считать эти тела
шарообразными, и уж конечно их можно представить себе в виде двух
материальных точек - тогда задача двух тел превращается в элементарное
упражнение. Однако сущность причины успеха ньютоновой динамики состоит в
сведении дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным
дифференциальным уравнениям, как только принято предположение, что тела
твердые.
Попытки использовать ньютоновские упрощающие предположения в
релятивистской задаче двух тел терпят неудачу. Фундаментальное для теории
Ньютона понятие твердого тела оказывается неприемлемым в теории
относительности, а представление тел в виде точечных частиц выходит за
рамки теории относительности, которая по существу является теорией поля.
Эти обстоятельства, конечно, не принижают несомненной полезности
приближений, основанных на разумных предположениях о чрезвычайной Малости
скорости распространения натяжений или малости размеров каждого из тел.
Есть еще две исходные точки для приближенного подхода: 1) предположение,
что все известные гравитационные поля слабы (кривизна пространства -
времени мала), и 2) предположение, что малы относительные скорости тел.
Выслушав наших реалиста и агониста, перейдем теперь к плану творческой
натуры - строителя вселенных, согласующихся с уравнениями поля. Конечно,
некоторые из них окажутся очень причудливыми, однако при уверенности в
физической состоятельности теории Эйнштейна мы вправе думать, что из
всего класса построенных таким образом вселенных одна представляет особый
