Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
для Солнца: 1,061-10"(r) ,
для Земли: 3,480-10"", (5.58)
для Луны: 1,563-10-и.
Итак, по сравнению с обычными плотностями плотность среды, окружающей
тела, очень мала.
iefc
Г л. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
Для тензора напряжений Sap как внутри, так и вне тела произвольной формы
согласно (5.53) имеем
1 3
8nSap = Gap == ф (бор Аф - фар) - "2"фафр "Ь ^арф0ф0, (5.59)
следовательно,
8nSap,p = y фаДф. (5.60)
Этот простой результат приводит к удивительной связи между нашей
релятивистской и ньютоновской моделями. В самом деле, результирующую
"силу", Действующую на тело, можно подсчитать, интегрируя Sap по
поверхности тела. Для этой "силы" мы получаем
^ Sap/lP da = ^ SaPtpdv = -j^- ^ фаДфЛ>= ~у J (Pafdv = - ^ pVado,
(5.61)
где V - ньютоновский потенциал. В теории Ньютона это значение в точности
совпадает с силой, которую необходимо приложить к телу для того, чтобы
удержать его в состояний покоя, уравновешивая гравитационное притяжение
со стороны других тел.
Мы видим, что на бесконечности напряжение стремится к нулю как Г*. Для
системы "Солнце - Земля" можно, рассмотрев задачу об удерживающей их
подпорке из окружающей среды, вычислить с помощью (5.59) среднее
нормальное давление на поверхности Земли; результат получается следующий:
р = 5,103-10-18 сек'2. (5.62)
Эта величина намного превышает давление (5.33), как и следовало ожидать,
ввиду того, что сила (5.32) вызвана изменениями напряжений вдоль
поверхности Земли. Поскольку в этом параграфе мы забрели, пожалуй,
довольно далеко в сторону от строгих задач физической реальности, имеет
смысл сделать резюме и подчеркнуть некоторые выводы:
1. Общая теория относительности страдает сложностью и громоздкостью
формул, поэтому полезно располагать формулами для Rijhm и °ц при
метрической форме вида (5.42)1).
2. Точные поля Эйнштейна простого вида встречаются редко. Поэтому всегда
желательно иметь перед собой пример, даже если его физический прототип в
природе не существует2).
3. Для рассмотренной нами модели Вселенной не существует критерия
единственности, если не считать критерия простоты. Простейшую модель
Вселенной можно получить, комбинируя g- и Т-методы, как описано в гл. IV,
§6.
4. Формула (5.31) для запаздывающего потенциала (или линейное
приближение) столь привлекательно проста, что возникает соблазн применить
ее, не углубляясь в критический анализ. Пользуясь ею как первым шагом на
пути построения точных решений, можно скорее оценить и ее ценность и
ограниченность. Неучет квадратичных членов чреват опасностью. Отбро-
*) В последующих разделах эти тензоры вычислены при различных метриках.
Точные формулы для GJ в случае ортогональной метрики общего вида (gjy
диагональ-на) можно найти у Толмана ([1270], стр. 253) и Мак Вити ([732],
стр. 68). Однако выигрыш в общности следует сообразовывать с ущербом от
уменьшения четкости интерпретации.
s) В настоящее время можно указать целый ряд решений уравнений поля
Эйнштейна в замкнутой форме, найденных с помощью методов теории групп,
хотя и не получивших до сих пор, за редким исключением, физической
интерпретации (Петров [903], гл. IV, V, VIII). - Прим. ред.
§ 4. Две леммы
183
сив их, мы в (5.59) имели бы Sap - 0, т. е. тела оказались бы в состоянии
взаимного покоя при отсутствии напряжений в окружающей их среде. Это
противоречило бы самым элементарным следствиям гравитационного
притяжения.
§ 4. Две леммы
В качестве предварительной подготовки к обсуждению проблемы Коши в
следующем параграфе установим две леммы (Лишнеровиц [671], стр. 31).
Пусть Wtj - какое-нибудь симметричное тензорное поле в пространстве -
времени с метрическим тензором gtj.
Мы определим сопряженное тензорное поле с помощью соотношений1)
Wb = Wii~j8tjW, W = tbWab. (5.63)
Поскольку gijg*' =4, то мы имеем
W*=-W, (5.64)
н, следовательно,
Wi^Wb-lgijW, (5.65)
так что символ "*", рассматриваемый как оператор, представляет
собой
корень квадратный из единицы в том смысле, что
Wtf = Wti. (5.66)
Лемма 1. Если gu ф 0, то смешанные "компоненты W) связаны с компонентами
W*p и линейным соотношением
W) = /5}afVje + B\kWi, (5.67)
где коэффициенты Л}"р и В}к являются линейной и квадратичной
функциями тензора gab, деленного на g44. (Греческие индексы
принимают
значения 1, 2, 3.)
Доказательство состоит в следующем. Наш план заключается в том, чтобы
использовать смешанные компоненты тензора (5.65), т. е.
1FJ = U7*}-J-ejUP*. (5.68)
Это приводит к соотношению
W] = (У'в? - 4 6)tb) Wlb. (5.69)
Для < = 4 получаем
а для / = у
так что
W\ = (йГв? -1 в'в"0 (5.70)
W*y = g"'Wa)l = g**WZy + g"W*iJt (5.71)
Wh = - (г44)'1 (E4aW*ay - W*). (5.72)
Полагая в (5.70) / = 4, получаем
W\ = glaWU-YgabW"b' (5.73)
1) Звездочка используется в (4.35) и (10.7) для обозначения дуального
тензора. Однако здесь не должно возникать никаких недоразумений.
184
Гл. V. Некоторые свойства полей Эйнштейна
Здесь происходят важные сокращения, после которых
?аРи7"0+т ?44U7<*4 > (5- 74)
