Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где b - постоянная; в этом случае предполагается, конечно, что V не
зависит от t. Если спроектировать геодезические линии пространства VN+l
вдоль параметрических линий и на многообразие конфигураций, то полученные
таким образом кривые совпадают с динамическими траекториями, причем время
связано с длиной дуги в 1/д,+1 следующим соотношением:
(8.4) * = 5 [2 (? + ?)] 2'
здесь Е обозначает полную энергию движения. Линейный элемент Эйзенхарта
(8.3) был позже вновь открыт Люисом (Lewis) [1].
b) Линейный элемент Мак-Коннеля. Для консервативной с. г. системы Мак-
Конн ель (McConnell) [1] предлагает брахистохронный линейный элемент
(8.5) ds* = 2TdPj(E -V) = а^х^х^ЦЕ - V).
Брахистохроны с полной энергией Е являются геодезическими линиями
многообразия конфигураций с таким линейным элементом. М а к-К о н н е л ь
предложил также воспользоваться линейным элементом
(8.6) eds2 = 2 (Т + V - Е) dP = atJ dxl dxf - 2{E - V) dP,
?= + 1,
в многообразии конфигураций и времени.
Каждая траектория с полной энергией Е будет в этом случае изотропной
(нулевой) линией; в частности, брахистохроны - изотропными геодезическими
линиями.
c) Линейный элемент Горака. Гора к (Horak) [6] предложил для многообразия
конфигураций и времени VV+-1 использовать линейный элемент, напоминающий
отчасти линейный элемент Мак-Коннеля, а именно:
(8.7) ds* = 2 (Т -f- V) dP = atJ dxl dx> -f-
2 VdP.
Этот линейный элемент обладает тем интересным свойством, что траектория
удовлетворяет условию
(8.8) Ек. = Хя, (<х = 0, 1, ... N),
где Е - постоянная полная энергия, - ковариантный вектор
30
кривизны в Vtf + i для х° = t, Xt - компонента обобщенной-силы, и
dx^
(8.9) Хо^-Х^.
По аналогии с теорией относительности Г о р а к (Horak) [8] предложил
также линейный элемент
(8.10) ds2 = c~2 [ач dx1 dxJ + с2 (1 - 2т) dt2],
где с - постоянная, а
(8.11) т = Т j с2
выражено как функция от t; тогда для каждого движения ds=dt. Впрочем,
ценность этого последнего линейного элемента несколько сомнительна, так
как мы можем выразить Т как функцию от t лишь после того, как движение
становится известным.
9. КВАЗИ КООРДИНАТЫ*)
Рассмотрим уравнения
(9-1) dya = $ [х) dx'
с отличным от нуля детерминантом | |. Эти уравнения тогда
и только тогда определяют величины у" как функции от х1 (с точностью до
постоянных слагаемых), когда правые части уравнений представляют собой
полные диференциалы. В общем случае dya определены как функции от х1 и
dx1, и если мы хотим найти функции уа от х1, удовлетворяющие нашим
уравнениям, то мы можем достичь этого, только выбрав некоторую
конгруенцию кривых и интегрируя (9.1) вдоль этой конгруенции. Тогда
каждое из соотношений (9.1) будет удовлетворяться только для перемещений
вдоль линий конгруенции.
Для защиты от соблазна усмотреть в записи уравнения больше, чем там
заключено, в теории пфаффовых форм принято, во избежание ошибок,
записывать уравнение (9.1) в виде:
(9.2) u>ad=tfdxl.
Это выражение уже не дает повода думать, что мы имеем дело с
диференциалами функций у*. Однако в теории квази-координат в динамике
стоит, подвергая себя этой опасности, употреблять все же обозначения
(9.1). Иначе мы были бы лишены
х) Horak [2], [3], [7], [8]; Sc ho u ten [1], [2]; Schouten und
S t г и i k [1] Bd I.
31
очень ясного формального выражения для уравнений движения. В (9.1) х'
являются координатами динамической системы, a dya мы будем называть
диференциалами квази-координат.*), или диференциалами неголономных
координат, или же параметрами. Мы никогда не будем опускать слово
"диференциалы* или какое-либо эквивалентное ему выражение, так как квази-
координаты или неголономные координаты не существуют в том общем случае,
когда <pfdxl не являются полными диференциалами. К сожалению, эти благие
намерения должны быть иногда принесены в жертву краткости, как это
сделано, например, в заголовке этой главы. У Больцмана (Bolzmann) ГГ в
1902 г. и в недавней статье Гора ка (Horak) [7' содержатся утверждения,
обнаруживающие неполное понимание этих обстоятельств, хотя, впрочем, эти
утверждения не ведут к каким-либо незаконным аналитическим заключениям.
В заключение могу только сказать, что тот, кто хочет избежать опасности
этих скользких рассуждений, может отказаться от использования квази-
координат и рассматривать локальные системы референции. При этом, однако,
теряется некоторая формальная простота.
Мы будем попрежнйму считать, что латинские индексы
пробегают значения 1,2, N, но теперь ыы разделим их на
две группы:
а, Ь, с, ..., /,
первая группа будет служить индексами квази-координат, а вторая группа -
индексами истинных координат х/. Мы выиграем в формальной простоте, если
для диференциадов квази-координат2) будем теперь писать dxa вместо dya;
тогда уравнения
(9.1) запишутся так:
(9.3) dxa=yf dx1,
являются, разумеется, функциями от х1 (а не от лг°, которые
!) Whittaker [1], стр. 55 русск. пер.
2) Эти обозначения могут привести к неясности: является ли, например,
