Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вектора тогда
(3.25) Z = ^ = 1;
из (3.23) получим:
(3.26) g+{ (<.>R""|AVV- =0.
Изучение "соответствия по нормали* несколько более сложно. Для решения
этой задачи можно воспользоваться уже полученными результатами для
"изохронного соответствия*. Для этого положим
(3.27) ?'= г/ + pvl, ruvl = 0,
где % - смещение при изохронном соответствии, т/ - смещение но нормали, р
- некоторая, еще не определенная, бесконечно малая величина. Подставляя
это выражение в (3.23) и принимая во внимание (3.12), мы получим:
(-3-28) 5 + 8^' + 2 VrfV^Xij г/.
Из равенств (3.28) и второго из равенств (3.27) мы получаем систему N-\~
1 уравнений относительно г(', р. В том случае, когда система
консервативна и ее потенциальная энергия есть V,
*) В моей ранней работе (Synge [1], стр. 71, 72) я называл эти
соответствия "кинематическим* и "ккнематико-статическим*. Wundheiler [1]
для первого из них вводит наименование "изохронического*.
2 дж. Л. Синдж
17
мы можем исключить р и получаем
(3.29) g + R\m vht V-f Vlj г/ + 2 V' (2 ]/.г/ - e)/o* -
- (r)г' ^ [(2 - e)>2J = 0 ,
где через в обозначено бесконечно малое приращение полной энергии при
переходе из состояния невозмущенного движения к возмущенному.
Легко написать уравнение для определения длины вектора
(3 J30)g + 7) f ^ + Vtjnlni + 4 (Vtn')*l& =
= 2sVin'jv2,
где nl - единичный вектор, имеющий направление вектора rf.
d) Брахистохроны. Рассмотрим динамическую систему, переходящую из
конфигурации А в конфигурацию В. Пусть она находится под влиянием данного
консервативного поля сил и пусть задана ее полная энергия. Требуется
определить идеальные связи, при которых система перейдет из положения А в
положение В в экстремальное время. Соответствующую траекторию называют
брахистохроной. Эту классическую проблему динамики точки Мак-Коннель
(McConnell) flj перенес на динамику системы; применив тензорные методы,
он пришел к обобщению результатов Эйлера.
e) Годографы. В динамике точки годографом называют геометрическое место
концов векторов, параллельных и равных по длине векторам скорости точки,
проведенных из фиксированного начала. Так как в римановом пространстве
нет понятия абсолютного параллелизма, то становится трудным дать общее
определение годографа. Мне все же удалось разрешить эту задачу, выбирая
начало отсчета на траектории и используя параллельное перенесение вдоль
нее. Я исследовал условия, при которых годограф является окружностью, и
получил результаты, являющиеся обобщением хорошо известного закона
Гамильтона о круговом годографе для движения точки под действием
ньютоновского закона притяжения').
f) Апсиды. В теории центральных орбит апсидой называют точку, в которой
длина радиус-вектора имеет стационарное значение. Следуя Адамару, я
обобщил эту идею и разработал теорию апсид для многообразия
конфигураций2).
1) Synge [3].
2) s У n g е [4].
18
4. МНОГООБРАЗИЕ КОНФИГУРАЦИЙ С КИНЕМАТИЧЕСКИМ ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ДЛЯ
С. Н.
СИСТЕМ:
ds2 = 2 Tdt2 = aiJ dxf dxK
а) Уравнения движения!). Мы имеем M неинтегрируемых уравнений связи
(4.1) <p(e)<djc' = 0.
Все перемещения, удовлетворяющие в некоторой точке этим связям, образуют
векторное пространство ?у - ль ортогональное к векторному пространству
Ем, определенному векторами <р'(со*
Пусть в каждой точке Ем выбрана система единичных взаимноортогональных
векторов Ф(*):
(4.2) Ф(")Ф(р)г = й"р"
где 5aS - символ Кронекера. Уравнения связей записываются в виде
(4.3)
Ф(,)/Ьс'=0.
Используя выражения для скорости v' и для ускорения р, полученные в § 3,
выведем, как следствие из (1.8), что уравнения движения имеют вид:
(4.4)
где
(4.5)
? = Х'+ТР,
17г' = 0олФ
При этом 6(а) еще не определены. Реакция Y1 лежит, следовательно, в Ем.
Диференцируя второе из соотношений (4.4), получим:
(4.6) Ф(.)/тФ(")у(r)'"/ = О,
J) Synge [1); Н о г а к [4]; S с h о u t е п [2]; Wundheiler [2]. Для
связи обозначений Wundheiler'a с теми, которыми мы пользуемся, отметим,
что его B'jt С'- суть В'=Ф1^,^Ф(а,у,
2*
19
где Ф(а);-у есть ковариантная производная от Ф(а);- Таким образом,
вследствие первого из соотношений (4.4)
(4.7) Фы;К' = -Ф(а)^-Фы^.
В соединении с (4.2) и (4.5) это дает:
(4.8) вы = - Ф(а)<Л? - ФипУ^-
Уравнения движения (4.4) могут быть теперь записаны так;
(4.9) f = Х' - Ф',)(Ф(а)/.А/ + Ф(а)/У^).
Эти уравнения имеют первые интегралы
(4.10) ф(в)у=С(а) = const.
В действительном движении С(а) = 0. Если ввести обозначения:
(4.11) Г/А= ГА/= | | уФ(с)(Ф(а)/4+Ф(а).;у),
Х'' = Х! -ф'а)ф(а)/.А^,
где X1 обозначают компоненту приложенной силы в пространстве Ел-- м, то в
этих обозначениях уравнения движения примут вид;
<4-12) wssw+J}*v'v*=jr'-
Эта форма уравнений движения системы связывает нашу теорию с геометрией
траекторий (Paths)1).
Давая греческим индексам значения М-\- 1,... ,М, мы можем ввести в Едг- м
систему единичных взаимно ортогональных векторов Ф(сн). Найдем компоненты
скорости и силы X'1 в направлении этих векторов:
(4.13) Д^ = '?,(а')Ф(сН)> X'1 = А'(1/)ф(а").
