Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
dx1 значением dx1 для /=1 или dxa для а = 1? Подобные неясности не
возникают в общей теории; чтобы полностью их избежать, примем за правило
всякий раз, когда численное значение индекса есть одно из значений а, Ь,
с, ..., отмечать этот индекс штрихом, например:
dx1 есть dxl для i - 1, dx1' есть dxa для а = 1.
Это .правило штрихов* приложимо не только к dxa, но и ко всякому
выражению с индексами а, Ь, с, ... . Можно было бы штриховать все буквы,
а, Ь, с,..., но в этом нет необходимости.
не существуют). Из этих уравнений получаем:
(9-4) dx1 =¦ Ца dxa,
где
(9.5) = <???? = &
Уравнения (9.3) и (9.4) наталкивают на мысль распространить на
н^интегрируемый случай определения, обоснованные для интегрируемого
случая. Так, мы полагаем:
/о dxi i дха а
№ дха = ?"• =
и, вообще
/О *7\ ^ I О
( ) дха~^аТх1'
из чего следует, что <9-8> (r)-=
Если мы сделаем преобразование истинных координат, при котором х?
перейдут в х1 (преобразования первого рода), то
(9.3) принимают следующий вид:
(9.9) dxa=,^ d-xi,
Таким образом, при таких преобразованиях <ро преобразуются как координаты
ковариантного вектора (с индексом /).
С другой стороны, если мы выполним .преобразование квази-координат",
полагая
I dxa = А% dxb, dx° - Аь dxb,
> \A°b~Abc = K, АьАе6=С
(преобразования второго рода), мы получим, согласно (9.3)" что
(9.11) dxa= yf dx1, f,a = Аь
Если ввести естественно возникающие в связи с (9.10) обозначения
дха д~ха
(9.12) -ь = Ааь, -iy = Ааь,
дх дх
3 Дж. JI. Синдж 33
то мы получим
/л 4 л\ л ь дх
(9.13)
дх
и мы можем сказать, что при таких преобразованиях ср? преобразуются как
координаты контравариантного вектора (с индексом а). Из этого следует,
что по отношению к преобразованиям обоего рода у'а также имеет тензорный
характер, определяемый положением индексов.
В последующем изложении мы рассмотрим тензорный характер не только по
отношению к преобразованиям, связанным с индексами i, j, k, ... , но и по
отношению к преобразованиям, .связанным с индексами а, Ь, с ...
Величины с индексами г, у, k... , а также ср? мы считаем определенными.
Другие величины с индексами а, Ь, с... мы определим через предшествующие.
Так, например, (9.3) можно рассматривать как соотношения, определяющие
dxa, а (9.5) - как соотношения, определяющие <оа. Мы установим общее
правило для определения тензоров с индексами а, Ь, с, ... через тензоры с
индексами i,j^k, ... Это правило достаточно очевидно для некоторых
частных случаев. Так, например, если Sf, Ti, Ifj являются тензорами
относительно преобразований первого рода, то мы определяем
(9.14) 5-=<p?S', Ta = vlaTt, Ul=
Ясно, что Sa, Tg, Ub будут инвариантами по отношению к преобразованиям
первого рода и будут иметь тензорный характер по отношению к
преобразованиям второго рода. В частности, с помощью фундаментального
тензора at- мы определяем величины
(9.15) (lab = (lifta'jb,
- "компоненты фундаментального тензора для квази-координат14. Таким
образом,
(9.16) ds2 = atj- dx1 dx1 = aab dxa dxb.
Точно так же мы определим:
(9.17) aab = a'h и проверим, что
(9.18) а^аос = 8?.
Операцию опускания и поднимания индексов мы определяем для истинных
координат так, как это делают обычно, и проверяем
34
затем ее применимость для квази-координат. Так, например, по определению
(9.19) St = ai/Sf, Se = <pUi" =
и, следовательно,
(9.20) Sa = atJ№ = а,/р j<p?s* = aab S?.
Следуя правилу (9.14), мы определяем
1па а №
1Г" 'P'F-
(9.21) =Т?"+Т?(/(}Л.=
=%+П*>*.
где
(9.22) rt = I?* = {jAj???b?-T'P*??(^S+ <Vfy).
Уравнения движения (3.12) для с. г. динамической системы под действием
сил X1 могут быть, следовательно, записаны с помощью квази-координат в
следующей форме:
lva dxa a dx1 а
(9.23) ТГ-1J ^ v '
Мы имеем здесь 2N уравнений первого порядка относительно va и х*. Первая
из этих систем не состоит, как это может казаться, из N уравнений второго
порядка с неизвестными х°, так как х1 будут в общем случае входить в Г*е
и Х°. В некоторых случаях, однако, как, например, для твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки без воздействия сил, квази-
координаты могут быть выбраны так, что Г*е и Ха становятся постоянными.
Тогда мы можем рассматривать первую систему в (9.23) как систему N
уравнений первого порядка относительно va или как систему N уравнений
второго порядка относительно ха, в предположении, что
(9.24) j dx* = j<рfdx1.
В этой формуле интегралы берутся вдоль траектории.
3*
55
Определяя
f [be, d] = y (d" аы+ dc abi - dd abc), db = _y.
<9'25) fel
мы можем также следующим образом выразить ГЬс:
(9.26) ТЪ = {+ у <?* (а*е <р/ + (<?/?* - дку%
Если рассматривается неголономная система, то для истинных координат
уравнения движения имеют вид (4.4); эти уравнения, как и в предыдущем
случае, можно преобразовать к такой форме:
(9.27) ~ = Xa+Ya,
Пусть имеется М связей; пусть индексы, соответствующие квазикоординатам,
разбиты на две группы:
(9.28) а, р,у, ... = Г, 2', ... М'; р, V, ? ... = (М -f 1)',
