Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда в силу (4.12) легко получим следующие уравнения:
(4.14) -f- b("pv)v(9')viV)= >
где величины
(4.15) А(а"з>т1> =A(sr3,)= - (Ф(*")1/ 4-Ф(а')/г)Ф('й')Ф(-(')
Т) Определить симметрические коэффициенты связанности Г/А так. как это
сделано у нас, представляется наиболее подходящим, хотя и не
обязательным.
20
легко выражаются с помощью риччиеьских коэффициентов ротации. Уравнения
(4.14) содержат ровно столько компонент скорости, сколько имеется
степеней свободы у нашей системы, то есть N-М, хотя, конечно, сюда должно
входить, вообще говоря, полное число координат. Уравнение (4.14)
инвариантно по отношению к преобразованию координат и представляет собой
векторное уравнение относительно ортогональных преобразований векторов
Ф(",) в Едг- м-
Отметим, что условия голономности имеют следующий вид1):
(4-16) ($(")// Ф(а)/,-)Ф(?')Ф(Г') = °-
Ь) Принцип наименьшей кривизны:). Зададим систему сил X1 и сравним три
траектории, имеющие общую точку Р и общую касательную в этой точке. Связи
будем считать, вообще говоря, неголономными, а общее направление движения
в точке Р удовлетворяющим этим связям. Эти траектории выберем следующим
образом:
С- естественная свободная траектория,
О -произвольнаятра-ектория, удовлетворяющая связям,
С"-естественная траектория, удовлетворяющая связям. Вектор первой
кривизны некоторой кривой имеет следующее выражение:
(4.17) А'= */=!?.
Величины, относящиеся к С' и С, будем отмечать соответственно одним или
двумя штрихами. Пусть
(4.18) *'*=(*;- k,) (kn - k'), k"2 = (k"i - kt) (k"'-k{).
J) Vranceanu [12].
2) Synge [1]; нижеизложенный метод является более прямым. Н о г а к [8]
опубликовал недавно теорему о наименьшей кривизне без указания на мой
метод, но мне его рассуждения представляются неясными. Относительно
классического принципа наименьшей кривизны или наименьшего принуждения, в
котором геометрический смысл не столь ясно усматривается, см. Whittaker
[1] стр. 285 русского перевода.
Ем
21
Будем называть величины k' и k" кривизной линий С' и С* относительно
линии С. Из (4.18) следует, что
(4.19) /г'2 - = (к- - k") (к" - k"1) -f 2 (к- - к") (к"1-к1).
На основании (3.11), (4.4), (3.7) мы получим соответственно для С', С в
точке Р
,4 ш I klv?=X' -vi'
К ¦ > \ knv^ = Xl -\-П - v"l'= X1 Y1 - У;/,
где Y' - реакция связей на С", удовлетворяющая условию = 0. Произведя
вычитание, получим:
(4.21) {khi - Y1.
Вдоль С' и С имеют место уравнения связей:
(4.22) <Р(")А" = °, ?<¦)/*" = 0.
Диференцируя по дуге и вычитая, мы получаем для точки Р:
(4.23) <р{в),(Л" -Л^О-
Таким образом, (kH - k"1) перпендикулярен к Ем, так как в силу (4.21)
(k*1 - k') лежит в Ем, поэтому последний член в равенстве (4.19)
исчезает, и мы имеем окончательно:
(4.24) - /г"2 = (к- - к") (к'1 - k'") О,
ибо фундаментальная форма положительно определенная. Отсюда k' ^ k', и мы
приходим к следующему результату: аз всех траекторий, естественных и
неестественных, удовлетворяющих связям и имеющим заданную скорость в
точке Р, естественная траектория, удовлетворяющая связям, имеет
наименьшую кривизну относительно естественной свободной траектории,
имеющей заданную скорость в точке Р.
с) Устойчивость1). Рассмотрим'однопараметрическое семейство
траекторий, удовлетворяющих связям. Введем вдоль каждой из них параметр
о. Параметр, определяющий траекторию в семействе, обозначим т. Определим
абсолютную производную по отношению к перенесению Гд, введенному в (4.11)
с помощью формулы
<4-25) Й = ^ +
х) Wundheilei [2]. Его метод несколько отличается от нижеизложенного: он
использует несимметричное перенесение.
22
Так же как в 3.15, получаем:
о '2Al Ъ'*А1 i tdxkdxl
,4 2g. , S'oS'x ~ ЬНЬ'7~1'->ыА 17 dt '
г; ' д |л! О p'" i r'^1 r'i г'П1 r'[
•1Ы==ШЬ Jl -W }k~X - i-Jki-ml,
где F'jki тензор кривизны, соответствующий перенесению Гд. Рассуждая, как
в § 3, мы убедимся, что бесконечно малый вектор смещения удовлетворяет
равенству
,, 07. , Л дх/ д дх' _ 8' 8'*л1
^4-27) 8'02 do ^ do S'x 8'о2 •
Для изохронного соответствия мы получим согласно (4.12), <4.28) Е.?дг
tW = ^ У,
где Лу - ковариантная производная компоненты А"7 в Е^_ лп вычисленная
относительно перенесения Гд, а не {/*}•
Так как условия связи выполнены для всех рассматриваемых траекторий, то
. . дх' . ,Тл 52хг' . ,т,1 djt"'d-х/ .
<4.29) ф(а), -= 0, ф^^-^ + ф^у-_ = о,
где Ф(а)у-ковариантная производная относительно Гд; вследствие
симметричности перенесения мы получим:
§'2W },ПХ1
<4.30)
S'tS'o 8'оЗ'т '
и, следовательно, для изохронного соответствия:
<4.31) Ф("Л^+Ф(.^ = 0,
что можно рассматривать как частный первый интеграл уравнения (4.28).
Легко непосредственно усмотреть, что
<4.32) Ф(.у/=4(Ф(в),у-Ф(.)//).
Из-за недостатка места я вынужден отказаться от рассмотрения поведения
модуля вектора смещения, а также от рассмотрения соответствия по нормали.
23
5. МНОГООБРАЗИЕ КОНФИГУРАЦИЙ С ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ
КОНСЕРВАТИВНЫХ С. Г.
СИСТЕМ:
ds2 = (Е - I/) aij dxldxJ.
а) Уравнения движения. Форма, которую дал Якоби для принципа
