Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синдж Дж.Л. -> "Тензорные методы в динамике" -> 3

Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.

Синдж Дж.Л. Тензорные методы в динамике — М.: Иностранная литература, 1947. — 43 c.
Скачать (прямая ссылка): tenzorniemetodivdinamike1947.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 13 >> Следующая

частично же из-за того, что менее компактные обозначения выявляют иногда
геометрический смысл с большой легкостью.
По оглавлению можно судить о круге вопросов, являющихся предметом нашего
исследования. Вследствие недостатка места лишь некоторые из перечисленных
там вопросов будут рассмотрены более или менее детально; остальные будут
изложены более сжато.
В сносках указаны основные сочинения; излагаемые мною методы не всегда
совпадают с методами оригинальных работ.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
Мы будем рассматривать динамическую систему наиболее общего типа. Она
может быть подчинена переменным связям - случай реономной системы. Если
связи постоянны, то система называется склерономной. Связи могут быть
заданы неинте-грируемыми уравнениями Пфаффа; в этом случае они неголо-
номны; в противном случае связи носят название голономных. Реономная
неголономная система представляет собой самый об-
!) Литература по неголономной геометрии продолжает расти: В о г t о-lo
tti [2]; Ног а к [2], [3]; Schouten [1], [2]; Schouten und Struik [1],
Bd. I, II; Schouten und van Kampen [1], [2];
Г 1 11 rioi ПГ1
щий случай, включающий все остальные. Однако полезнее изучать сначала
более простые системы, так как они обладают интересными свойствами, не
имеющими места в общем случае.
Условимся, как это принято, что по каждой паре повторяющихся индексов
производится суммирование; при этом мы предполагаем, что латинские
индексы пробегают значения от 1 до N, а греческие - от 1 до М. Индексы,
не носящие тензорного характера по отношению к преобразованиям координат,
мы будем обычно заключать в скобки. Случаи, когда индексы пробегают
другие системы значений, будут всякий раз особо оговорены.
a) Склерономные голономные (с. г.) системы. Конфигурация системы
определяется значениями координат х1, вариации которых могут принимать
произвольные значения. Кинетическая энергия задается формулой
(1.1) Т = ~аи(х)х1хК
На систему действуют обобщенные силы Xif определяемые равенством
(1.2) dW=Xtdxl,
где dW-работа при произвольном перемещении. Уравнения движения имеют вид:
(1.3) d~ dL-dL = Xi.
dt дх' дх'
Простым примером с. г. системы может служить твердое тело, свободно
вращающееся вокруг неподвижной точки.
b) Склерономные неголономные (с. н.) системы. Конфигурация системы
определена значениями координат х', но произвольные вариации этих
координат могут противоречить связям. Вынужденное связями перемещение
должно удовлетворять М уравнениям связей
(1.4) (r)Mldx' = 0, (а=1,2, ...М).
Эти уравнения не интегрируемы - в этом и состоит неголоном-ный характер
нашей системы.
На систему действуют приложенные к ней обобщенные силы Xt и реакции
связей К,. Работа при произвольном, не подчиненном связям перемещении
равна
(1.5) dW^-iX^-Y^dx1,
II
а для всякого перемещения, подчиненного связям,
(1.6) Y l dxl = 0;
поэтому
О-7) =
где &(") остаются неопределенными.
Кинетическая энергия определяется формулой (1.1), а уравнения движения
имеют следующий вид:
п m d дТ дТ " . v 'in
(1'8) *<¦><"=°-
Простым примером с. н. системы может служить диск, катящийся по
шероховатой неподвижной плоскости*),
c) Реономные голоночные (р. г.) системы. Конфигурация этой системы
определяется значениями координат х1 и времени t. Вариации координат
могут принимать произвольные значения. Кинетическая энергия определяется
формулой
(1.9) T = ~-al/(x,() x'xi-\-at{x,f) xl -f ~ A(x,f).
Система подвергается действию обобщенных сил Х(, удовлетворяющих
равенству (1.2) для всех перемещений, соответствующих изменению одних
лишь координат, при фиксированном времени t. Уравнения движения сохраняют
форму (1.3). Простым примером р. г. системы может служить свободное
вращение твердого тела вокруг точки, движущейся по заданному закону.
d) Реономные неголономчые (р. н.) системы. Конфигурация системы
определяется заданием х1 и t. Движение должно удовлетворять
неинтегрируемым уравнениям связей
(1.10) ср(а), (х, t) dxl = cbw (х, t) dt.
Про перемещение, удовлетворяющее равенствам
(1.11) 4M,dx1^ 0,
мы будем говорить, что оно удовлетворяет мгновенным связям. На систему
действуют внешние обобщенные силы Xt и реакции связей Yг Работа,
произведенная при произвольном, не подчиненном мгновенным связям
перемещении, равна
(1.12) dW=(Xl-\-YJdxl,
*) Геочетрические методы при изучении конкретных неголоноиных систем
применил Вагнер в работе [6]. (Прим. pedj
12
а для всякого перемещения, удовлетворяющего мгновенным связям, имеем;
(1.13) Ytdx' = Q,
Поэтому
0-14) = ?(.)/•
Кинетическая энергия, выражается формулой (1.9), а уравнения движения
имеют вид:
<1Л5) +
Простым примером р. н. системы может служить качение диска по шероховатой
плоскости, которая перемещается по заданному закону.
Каждая из описанных выше систем называется консервативной, если
существует потенциальная энергия V, такая, что
(1.16) 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Будем рассматривать два многообразия: а) многообразие конфигураций, в
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 13 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed