Тензорные методы в динамике - Синдж Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1) Synge [1].
!) Vranceanu [5], [8], [12]; Synge [2]; Wundheiler [2]. Первая из работ
Вранчеану содержит ошибку, исправленную в следующих его статьях.
26
квази-координатам. Имея, однако, в виду то обстоятельство, что в
классической динамике, с которой мы сейчас имеем дело, временная
координата действительно имеет привилегированное значение, представляется
целесообразным воздержаться от вышеуказанного преобразования. Мы
предпочтем метод В у н д-хейлера (Wundheiler) [3], оставляющий время на
особом положении.
Мы скажем несколько слов о методе Вундхейлера и предложим некоторую его
модификацию, дающую значительные упрощения без нарушения общности-в том
объеме, по крайней мере, какой требуется для рассматриваемых нами систем.
Метод Вундхейлера изложен также у Вранчеану (Vrance-апи) [16].
Мы рассмотрим реономную систему с кинетической энергией:
(7.2) Т = i- аи (х, t) У У + а, (*, t) У -f i- Л (*, t).
Обозначим многообразие конфигураций и времени через VN+l. Т определяет
инвариантный линейный элемент в К№1,
(7.3) ds2 = 2Tdt2 = аи (jc, t) dx'dx! -(- 2a, (jc, t) dx'dt -}-
¦\-A(x,t)dt\
Уравнение t = const определяет однопараметрическое семейство
привилегированных поверхностей VN (t) в V NJr}. Таким образом, движение
системы может быть рассматриваемо либо как некоторая кривая в VN+l, либо
как движение точки в деформируемом пространстве V^(t) с линейным
элементом
(7.4) dd1 = atj (jc, t) dx' dx).
Теорию таких деформируемых пространств Вундхейлер называет "реономной
геометрией". Динамическая проблема приводится, таким образом, к обобщению
задачи о движении точки по поверхности, форма которой меняется со
временем. Вундхейлер считает, что невозможно идентифицировать точки на
поверхности после преобразования, и исследует поэтому инвариантность
уравнений относительно общего преобразования вида:
(7.5) x'=fl (jc1, х2, ... , xN, t).
Так как это преобразование содержит параметр t, то возникает
необходимость в модификации обычного тензорного аппарата; назовем, следуя
Вундхейлеру, некоторый объект "сильным" тензором, если он подчиняется
обычным формальным законам
27
тензорного преобразования, например:
(7.6)
Так как
(7.7)
то dx! не является сильным тензором, но
(7.8) Vi=z~JiT = а1/х/ + а!
является сильным тензором.
Вундхейлеру удается придать уравнениям движения, также и в случае
неголономной системы, форму равенств, связывающих сильные тензоры. Он,
однако, ошибается, полагая, что нет возможности идентифицировать точки
поверхности после деформации. Линейный элемент (7.3) определяет
абсолютную ортогональность в Ул+1, и, следовательно, ортогональные
траектории в VN(t) имеют абсолютный смысл. Выберем их в качестве
параметрических линий t. Тогда в Т исчезнут члены, содержащие и мы
получим, не теряя общности, что
Координаты х1 могут быть произвольно выбраны в УдДО): таким образом, мы
получаем инвариантность лишь относительно преобразований
не содержащих никакого параметра. А является инвариантом, и мы должны
рассматривать теперь деформируемую поверхность VN{t), на которой
В дальнейшем исчезает необходимость говорить о сильных тензорах. Тем не
менее, вследствие зависимости фундаментального тензора а1} от времени
необходимо некоторое изменение тензорного аппарата. Заметим, что если 5
есть тензорное поле, то dSjdt также является тензорным полем. Обычное
определение ковариантной производной сохраняется, например:
(7.10)
X1 =f (х1,х2, . .i Xм),
(7.11)
da2 = atj (х, t) dx*'dxL
Сохраняется также формула для абсолютной производной вдоль кривой х' =х'
(и), например:
/7 I о\ №_dSi , f j ) у dx*
'7-13> ом du ^ \jk) du '
Однако для абсолютной производной тензорного поля мы получаем* например,
(7.14) (tm)=={DjSi)g+*1**.
Недостаток места не позволяет входить здесь в детали. Я укажу только, что
для голономной системы уравнения движения
/7 1 с-. ±.JL_dJL=x
^ ) dt fai дх' 1
сводятся сразу к тензорной форме:
(7.16) М =
где
о cl /ь . &А г dxl
(7.17) Х' = аЩ, b!j = a'^, * = <0-^, " =~?-
8. ДРУГИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ СКЛЕРОНОМНЫХ И РЕОНОМНЫХ СИСТЕМ
а) Линейный элемент Эйзенхарта. Пусть имеется реоном-ная система с N
степенями свободы, обладающая потенциальной энергией V, которая может
зависеть от t. Кинетическая энергия определится формулой:
(8.1) т = \ aij (*> + я, (х, f)x'-j-~ А(х, {).
Эйзенхарт (Eisenhart) [2] предлагает рассматривать пространство V^+2AT-(-
2 измерений с координатами х', t, и нелинейным элементом
(8.2) ds2 = aif dx1 dx/ -f 2atdxldt + (A - 2 VO dt2 -f 2dt du.
Он показал, что если геодезические линии пространства VN+2 проектируются
вдоль параметрических линий и на поверхности и = const, то полученные при
этом кривые будут совпадать с динамическими траекториями в многообразии
конфигураций и времени.
Для склерономной голономной системы Эйзенхарт рассматривает пространство
V^+1 с координатами х1, и (а не про-
29
странство конфигураций и времени) с линейным элементом
(8.3) ds°- = aijdxidxJ-f 2du2f(V-±- b),
